P58 · 极值构型 · 经典问题

等边三角形内的最小三角形 · n = 5

文献中也称Heilbronn triangle problem in an equilateral triangle

在边长 1 的等边三角形内放置 n 个点，使任意三点构成的三角形中最小的那个面积尽可能大。

子题n = 5

目标最大化最小三角形的面积

纪录对比

最小三角形的面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	*√3(3-2√2)/4*	见来源署名	本站证明 ↗
本站纪录	0.074293234198694088	大小糖	纪录详情 ↓

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器容器是边长 1 的等边三角形：底边从 (0, 0) 到 (1, 0)，顶点在 (1/2, √3/2)。
提交恰好 n 个点，任意三点不共线
约束每个点都在容器内或边界上
分数A(P) 是全部三点组中最小的三角形面积；内部以 2A(P) 精确比较 $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标让 A(P) 尽可能大

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当前展示：本站纪录

0.866025404y0

12345

0x1

已验证构造最小的三角形

帮助理解

哪里有优化空间

光把点撒得均匀还不够，因为只要有任意三个点接近共线，它们围出的三角形面积就会立刻塌缩。整齐对称的网格很容易出现共线或近共线三点，真正好的排布往往打破对称。

前沿在哪里

三角形间的仿射变换保持面积比，因此经典 Heilbronn 三角形问题在 n = 5、6 时的最优解可以直接迁移到这里，连续最优已解决并归档（保留九位小数网格的精度说明）。n = 11 收录了 AlphaEvolve 公布构形的可验证版本，其余规模仍待探索。

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构型与历史

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纪录保持者大小糖

解题方式人工

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在等边三角形一顶点上作一个边长为√2-1的的等边三角形，小三角形另外两个顶点在两条边上，再以这两个顶点作一样大的等边三角形

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历史纪录（6 次易主）

大小糖人工
0.074293234195959117→0.074293234198694088
2026-09-06
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
0.074293234097650684→0.074293234195959117
2026-09-05
kmp人工
0.074293234092405727→0.074293234097650684
2026-08-27
kmpAI · Google: Gemini 3.7 Flash
0.0723478816553132635→0.074293234092405727
2026-08-27
lird人工
0.0722506975→0.0723478816553132635
2026-08-27
NUE_13人工
0.035048740589117021→0.0722506975
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的等边三角形：底边从 (0, 0) 到 (1, 0)，顶点在 (1/2, √3/2)。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.585786439",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.866025403"
    ],
    [
      "0.795485729",
      "0.354229108"
    ],
    [
      "0.378679657",
      "0.358719468"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
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      "0.795485729",
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    ],
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      "0.378679657",
      "0.358719468"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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比较有可能的值大小糖#1813 条回复52 天前