P60 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

实射影空间中的直线打包 · d = 4, n = 15

文献中也称Grassmannian line packingline packing in real projective spaceoptimal packings in Grassmannian spacesequiangular lines

在 Rᵈ 中选 n 条过原点的直线，使任意两条直线夹角的最小值尽可能大，也就是最小化最大重合度 μ = max |cos∠(vᵢ, vⱼ)|。

子题d = 4, n = 15

目标最小化最大重合度 μ

纪录对比

最大重合度 μ · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.6087394116943637, 0.6087394117765007]	见来源署名	cohn.mit.edu ↗
本站纪录	0.608739412	zzzcy	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器d 维实空间 Rᵈ，所有直线都过原点；答案是实射影空间 RPᵈ⁻¹ 中的 n 个点
提交恰好 n 个非零向量，每个 d 个坐标；向量代表它张成的直线
重合度μ² 是所有直线对中最大的归一化内积平方，验证器直接用有理数交叉相乘比较大小 $μ^{2} = \max_{i < j} \frac{{(v_{i} \cdot v_{j})}^{2}}{{| v_{i} |}^{2} {| v_{j} |}^{2}}$
计分纪录存为 ceil(μ²·10¹⁸)；页面显示 μ，向上取整到第 9 位小数
目标在所有合法直线族中让 μ²（等价地 μ）尽可能小 $\min_{v_{1}, \dots, v_{n}} μ^{2}$

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当前展示：本站纪录

已验证构造15 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

换一种说法

当 d = 4 时，把非零向量归一化就得到单位四元数，其中 q 与 −q 代表同一个三维旋转。因此 d = 4 的子题相当于在三维空间里挑 n 个彼此最分散的旋转姿态，这在机器人姿态采样和图形渲染里很常见。

前沿在哪里

Grassmannian 框架常用于抗噪与抗擦除编码、无线通信和压缩感知。Sloane 的打包表长期维护这些参数下的已知最优结果并公开征集改进；在 d = 3 下，严格最优性证明只到 n = 8。2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的证明解决了 d = 5、n = 16：有理坐标无法达到 Rankin 界 1/√5，当前纪录已是九位小数网格上的最优解。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（11 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.60873941169→0.60873941168
2026-10-06
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.6087394117→0.6087394116
2026-10-04
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.608739411742→0.608739411741
2026-09-08
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.608739411745→0.608739411742
2026-09-07
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.608739411746→0.608739411745
2026-09-07
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.60873941175→0.60873941174
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.60873941176→0.60873941175
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.608739413→0.608739412
2026-09-01
N. J. A. Sloane and Henry Cohn's Grassmannian packing archive人工
0.6087394122→0.6087394121
2026-08-29
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.997445718→0.608739413
2026-08-28
lirdAI · DeepSeek: DeepSeek V4 Pro 0813
0.997735218→0.997445718
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每条直线由一个非零向量表示，d 个坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。向量的正负和非零缩放代表同一条直线。

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.327847850",
      "0.277092037",
      "0.010598484",
      "0.325083763"
    ],
    [
      "-0.400472708",
      "0.499062470",
      "-0.497077678",
      "0.013808129"
    ],
    [
      "0.162454534",
      "0.007052417",
      "-0.387375148",
      "0.506220802"
    ],
    [
      "0.871899693",
      "-0.123219039",
      "-0.630557720",
      "-0.937282645"
    ],
    [
      "0.317115817",
      "0.741259358",
      "-0.030051907",
      "-0.921772115"
    ],
    [
      "-0.963682108",
      "-0.108751860",
      "-0.879141949",
      "0.890357193"
    ],
    [
      "-0.659860283",
      "0.822306979",
      "0.818779294",
      "-0.030644892"
    ],
    [
      "-0.408804775",
      "-0.650273630",
      "-0.749822261",
      "-0.095843071"
    ],
    [
      "-0.283267536",
      "-0.012297107",
      "-0.731515034",
      "-0.836812894"
    ],
    [
      "0.155639120",
      "-0.127076252",
      "0.005151886",
      "0.158022080"
    ],
    [
      "0.004208451",
      "0.295618801",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-0.715501512",
      "-0.705388080",
      "0.598411291",
      "0.117951906"
    ],
    [
      "-0.247238530",
      "0.627750396",
      "-0.167190603",
      "0.753777584"
    ],
    [
      "-0.083817934",
      "-0.067122557",
      "0.876507462",
      "0.000000000"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15,
  "d": 4
}

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.327847850",
      "0.277092037",
      "0.010598484",
      "0.325083763"
    ],
    [
      "-0.400472708",
      "0.499062470",
      "-0.497077678",
      "0.013808129"
    ],
    [
      "0.162454534",
      "0.007052417",
      "-0.387375148",
      "0.506220802"
    ],
    [
      "0.871899693",
      "-0.123219039",
      "-0.630557720",
      "-0.937282645"
    ],
    [
      "0.317115817",
      "0.741259358",
      "-0.030051907",
      "-0.921772115"
    ],
    [
      "-0.963682108",
      "-0.108751860",
      "-0.879141949",
      "0.890357193"
    ],
    [
      "-0.659860283",
      "0.822306979",
      "0.818779294",
      "-0.030644892"
    ],
    [
      "-0.408804775",
      "-0.650273630",
      "-0.749822261",
      "-0.095843071"
    ],
    [
      "-0.283267536",
      "-0.012297107",
      "-0.731515034",
      "-0.836812894"
    ],
    [
      "0.155639120",
      "-0.127076252",
      "0.005151886",
      "0.158022080"
    ],
    [
      "0.004208451",
      "0.295618801",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-0.715501512",
      "-0.705388080",
      "0.598411291",
      "0.117951906"
    ],
    [
      "-0.247238530",
      "0.627750396",
      "-0.167190603",
      "0.753777584"
    ],
    [
      "-0.083817934",
      "-0.067122557",
      "0.876507462",
      "0.000000000"
    ]
  ]
}

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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