P60 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

实射影空间中的直线打包 · d = 4, n = 17

文献中也称Grassmannian line packingline packing in real projective spaceoptimal packings in Grassmannian spacesequiangular lines

在 Rᵈ 中选 n 条过原点的直线，使任意两条直线夹角的最小值尽可能大，也就是最小化最大重合度 μ = max |cos∠(vᵢ, vⱼ)|。

子题d = 4, n = 17

目标最小化最大重合度 μ

纪录对比

最大重合度 μ · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.6308517112998903, 0.6308517113791481]	见来源署名	cohn.mit.edu ↗
本站纪录	0.630851712	zzzcy	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器d 维实空间 Rᵈ，所有直线都过原点；答案是实射影空间 RPᵈ⁻¹ 中的 n 个点
提交恰好 n 个非零向量，每个 d 个坐标；向量代表它张成的直线
重合度μ² 是所有直线对中最大的归一化内积平方，验证器直接用有理数交叉相乘比较大小 $μ^{2} = \max_{i < j} \frac{{(v_{i} \cdot v_{j})}^{2}}{{| v_{i} |}^{2} {| v_{j} |}^{2}}$
计分纪录存为 ceil(μ²·10¹⁸)；页面显示 μ，向上取整到第 9 位小数
目标在所有合法直线族中让 μ²（等价地 μ）尽可能小 $\min_{v_{1}, \dots, v_{n}} μ^{2}$

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当前展示：本站纪录

已验证构造17 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

换一种说法

当 d = 4 时，把非零向量归一化就得到单位四元数，其中 q 与 −q 代表同一个三维旋转。因此 d = 4 的子题相当于在三维空间里挑 n 个彼此最分散的旋转姿态，这在机器人姿态采样和图形渲染里很常见。

前沿在哪里

Grassmannian 框架常用于抗噪与抗擦除编码、无线通信和压缩感知。Sloane 的打包表长期维护这些参数下的已知最优结果并公开征集改进；在 d = 3 下，严格最优性证明只到 n = 8。2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的证明解决了 d = 5、n = 16：有理坐标无法达到 Rankin 界 1/√5，当前纪录已是九位小数网格上的最优解。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

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历史纪录（8 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.63085171127→0.63085171126
2026-10-06
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.6308517113→0.6308517112
2026-10-04
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.63085171132→0.63085171131
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.63085171134→0.63085171132
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
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2026-09-01
N. J. A. Sloane and Henry Cohn's Grassmannian packing archive人工
0.63085171179→0.63085171178
2026-08-29
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2026-08-28
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0.998244174→0.998044965
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每条直线由一个非零向量表示，d 个坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。向量的正负和非零缩放代表同一条直线。

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.819926128",
      "0.130810039",
      "0.362988711",
      "-0.975779958"
    ],
    [
      "-0.126019231",
      "0.754489093",
      "0.866707933",
      "0.331775479"
    ],
    [
      "-0.552083815",
      "0.557327278",
      "0.136060957",
      "-0.363246323"
    ],
    [
      "-0.133472161",
      "-0.109298689",
      "0.742991244",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.515514998",
      "0.109750873",
      "-0.409210178",
      "0.471717932"
    ],
    [
      "0.145764788",
      "-0.187647013",
      "-0.001200687",
      "0.889664487"
    ],
    [
      "0.000943018",
      "0.099759573",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-0.023729045",
      "0.492592962",
      "0.803192568",
      "-0.632172759"
    ],
    [
      "0.897167836",
      "0.888727075",
      "-0.629128126",
      "-0.178806707"
    ],
    [
      "0.798398407",
      "0.208549625",
      "0.949115874",
      "0.939515638"
    ],
    [
      "-0.419320933",
      "-0.022110116",
      "0.535753309",
      "0.660648763"
    ],
    [
      "0.613644306",
      "-0.619472445",
      "-0.059556016",
      "-0.427011370"
    ],
    [
      "-0.975284233",
      "-0.966108535",
      "-0.700560499",
      "0.121345057"
    ],
    [
      "0.131167103",
      "0.461715817",
      "0.004464412",
      "0.555061766"
    ],
    [
      "-0.154971054",
      "0.747444306",
      "-0.683675095",
      "-0.589974810"
    ],
    [
      "-0.604504743",
      "0.307141219",
      "-0.698406097",
      "0.117541331"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 17,
  "d": 4
}

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.819926128",
      "0.130810039",
      "0.362988711",
      "-0.975779958"
    ],
    [
      "-0.126019231",
      "0.754489093",
      "0.866707933",
      "0.331775479"
    ],
    [
      "-0.552083815",
      "0.557327278",
      "0.136060957",
      "-0.363246323"
    ],
    [
      "-0.133472161",
      "-0.109298689",
      "0.742991244",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.515514998",
      "0.109750873",
      "-0.409210178",
      "0.471717932"
    ],
    [
      "0.145764788",
      "-0.187647013",
      "-0.001200687",
      "0.889664487"
    ],
    [
      "0.000943018",
      "0.099759573",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-0.023729045",
      "0.492592962",
      "0.803192568",
      "-0.632172759"
    ],
    [
      "0.897167836",
      "0.888727075",
      "-0.629128126",
      "-0.178806707"
    ],
    [
      "0.798398407",
      "0.208549625",
      "0.949115874",
      "0.939515638"
    ],
    [
      "-0.419320933",
      "-0.022110116",
      "0.535753309",
      "0.660648763"
    ],
    [
      "0.613644306",
      "-0.619472445",
      "-0.059556016",
      "-0.427011370"
    ],
    [
      "-0.975284233",
      "-0.966108535",
      "-0.700560499",
      "0.121345057"
    ],
    [
      "0.131167103",
      "0.461715817",
      "0.004464412",
      "0.555061766"
    ],
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      "-0.154971054",
      "0.747444306",
      "-0.683675095",
      "-0.589974810"
    ],
    [
      "-0.604504743",
      "0.307141219",
      "-0.698406097",
      "0.117541331"
    ]
  ]
}

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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