P60 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

实射影空间中的直线打包 · d = 4, n = 20

文献中也称Grassmannian line packingline packing in real projective spaceoptimal packings in Grassmannian spacesequiangular lines

在 Rᵈ 中选 n 条过原点的直线，使任意两条直线夹角的最小值尽可能大，也就是最小化最大重合度 μ = max |cos∠(vᵢ, vⱼ)|。

子题d = 4, n = 20

目标最小化最大重合度 μ

纪录对比

最大重合度 μ · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.6529857972038902, 0.6529857972804615]	见来源署名	cohn.mit.edu ↗
本站纪录	0.652985798	zzzcy	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器d 维实空间 Rᵈ，所有直线都过原点；答案是实射影空间 RPᵈ⁻¹ 中的 n 个点
提交恰好 n 个非零向量，每个 d 个坐标；向量代表它张成的直线
重合度μ² 是所有直线对中最大的归一化内积平方，验证器直接用有理数交叉相乘比较大小 $μ^{2} = \max_{i < j} \frac{{(v_{i} \cdot v_{j})}^{2}}{{| v_{i} |}^{2} {| v_{j} |}^{2}}$
计分纪录存为 ceil(μ²·10¹⁸)；页面显示 μ，向上取整到第 9 位小数
目标在所有合法直线族中让 μ²（等价地 μ）尽可能小 $\min_{v_{1}, \dots, v_{n}} μ^{2}$

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当前展示：本站纪录

已验证构造20 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

换一种说法

当 d = 4 时，把非零向量归一化就得到单位四元数，其中 q 与 −q 代表同一个三维旋转。因此 d = 4 的子题相当于在三维空间里挑 n 个彼此最分散的旋转姿态，这在机器人姿态采样和图形渲染里很常见。

前沿在哪里

Grassmannian 框架常用于抗噪与抗擦除编码、无线通信和压缩感知。Sloane 的打包表长期维护这些参数下的已知最优结果并公开征集改进；在 d = 3 下，严格最优性证明只到 n = 8。2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的证明解决了 d = 5、n = 16：有理坐标无法达到 Rankin 界 1/√5，当前纪录已是九位小数网格上的最优解。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

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历史纪录（11 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.6529857972→0.6529857971
2026-10-06
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.65298579723→0.65298579720
2026-10-04
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.65298579724→0.65298579723
2026-09-06
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.652985797244→0.652985797242
2026-09-05
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.652985797248→0.652985797244
2026-09-05
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.65298579725→0.65298579724
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.652985797258→0.652985797250
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.65298579726→0.65298579725
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.6529857977→0.6529857972
2026-09-01
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.998613998→0.652985798
2026-08-28
lirdAI · DeepSeek: DeepSeek V4 Pro 0813
0.998736612→0.998613998
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每条直线由一个非零向量表示，d 个坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。向量的正负和非零缩放代表同一条直线。

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "-0.826388354",
      "-0.000000035",
      "0.698435337",
      "0.656426397"
    ],
    [
      "0.047435155",
      "0.474458754",
      "-0.415567563",
      "-0.570133383"
    ],
    [
      "-0.704117277",
      "0.000000028",
      "0.619042400",
      "-0.602523196"
    ],
    [
      "-0.103288431",
      "-0.000000002",
      "0.611113541",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.374909366",
      "-0.000000038",
      "0.154071172",
      "0.752390016"
    ],
    [
      "0.583406987",
      "-0.564959930",
      "0.148382393",
      "0.341589591"
    ],
    [
      "0.091439715",
      "-0.512628803",
      "-0.299373110",
      "0.695353930"
    ],
    [
      "0.372020027",
      "-0.823510667",
      "0.927967017",
      "-0.169449997"
    ],
    [
      "-0.818350010",
      "-0.792474115",
      "-0.208137267",
      "-0.479150743"
    ],
    [
      "0.035134381",
      "-0.351423170",
      "-0.307803552",
      "-0.422287756"
    ],
    [
      "-0.538849519",
      "0.646547591",
      "0.580504513",
      "-0.008814628"
    ],
    [
      "-0.348656745",
      "-0.771793268",
      "-0.869689635",
      "0.158808267"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.653004604",
      "0.783518479",
      "-0.703484189",
      "0.010682082"
    ],
    [
      "0.969482683",
      "0.828310702",
      "0.103425844",
      "-0.753404045"
    ],
    [
      "0.700505227",
      "-0.000000017",
      "0.758462625",
      "0.291320749"
    ],
    [
      "0.000000005",
      "0.508651049",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "-0.081132703",
      "-0.454845632",
      "0.265628008",
      "-0.616974233"
    ],
    [
      "0.695321900",
      "-0.594072003",
      "0.074177963",
      "-0.540348372"
    ],
    [
      "0.396867242",
      "0.000000028",
      "0.581830185",
      "-0.600072454"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20,
  "d": 4
}

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "-0.826388354",
      "-0.000000035",
      "0.698435337",
      "0.656426397"
    ],
    [
      "0.047435155",
      "0.474458754",
      "-0.415567563",
      "-0.570133383"
    ],
    [
      "-0.704117277",
      "0.000000028",
      "0.619042400",
      "-0.602523196"
    ],
    [
      "-0.103288431",
      "-0.000000002",
      "0.611113541",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.374909366",
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    ],
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      "0.583406987",
      "-0.564959930",
      "0.148382393",
      "0.341589591"
    ],
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      "0.091439715",
      "-0.512628803",
      "-0.299373110",
      "0.695353930"
    ],
    [
      "0.372020027",
      "-0.823510667",
      "0.927967017",
      "-0.169449997"
    ],
    [
      "-0.818350010",
      "-0.792474115",
      "-0.208137267",
      "-0.479150743"
    ],
    [
      "0.035134381",
      "-0.351423170",
      "-0.307803552",
      "-0.422287756"
    ],
    [
      "-0.538849519",
      "0.646547591",
      "0.580504513",
      "-0.008814628"
    ],
    [
      "-0.348656745",
      "-0.771793268",
      "-0.869689635",
      "0.158808267"
    ],
    [
      "1.000000000",
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      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
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      "0.653004604",
      "0.783518479",
      "-0.703484189",
      "0.010682082"
    ],
    [
      "0.969482683",
      "0.828310702",
      "0.103425844",
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    ],
    [
      "0.700505227",
      "-0.000000017",
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      "0.291320749"
    ],
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      "0.581830185",
      "-0.600072454"
    ]
  ]
}

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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