P60 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

实射影空间中的直线打包 · d = 4, n = 18

文献中也称Grassmannian line packingline packing in real projective spaceoptimal packings in Grassmannian spacesequiangular lines

在 Rᵈ 中选 n 条过原点的直线，使任意两条直线夹角的最小值尽可能大，也就是最小化最大重合度 μ = max |cos∠(vᵢ, vⱼ)|。

子题d = 4, n = 18

目标最小化最大重合度 μ

纪录对比

最大重合度 μ · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.6366473082091842, 0.6366473082877206]	见来源署名	cohn.mit.edu ↗
本站纪录	0.636647309	zzzcy	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器d 维实空间 Rᵈ，所有直线都过原点；答案是实射影空间 RPᵈ⁻¹ 中的 n 个点
提交恰好 n 个非零向量，每个 d 个坐标；向量代表它张成的直线
重合度μ² 是所有直线对中最大的归一化内积平方，验证器直接用有理数交叉相乘比较大小 $μ^{2} = \max_{i < j} \frac{{(v_{i} \cdot v_{j})}^{2}}{{| v_{i} |}^{2} {| v_{j} |}^{2}}$
计分纪录存为 ceil(μ²·10¹⁸)；页面显示 μ，向上取整到第 9 位小数
目标在所有合法直线族中让 μ²（等价地 μ）尽可能小 $\min_{v_{1}, \dots, v_{n}} μ^{2}$

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当前展示：本站纪录

已验证构造18 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

换一种说法

当 d = 4 时，把非零向量归一化就得到单位四元数，其中 q 与 −q 代表同一个三维旋转。因此 d = 4 的子题相当于在三维空间里挑 n 个彼此最分散的旋转姿态，这在机器人姿态采样和图形渲染里很常见。

前沿在哪里

Grassmannian 框架常用于抗噪与抗擦除编码、无线通信和压缩感知。Sloane 的打包表长期维护这些参数下的已知最优结果并公开征集改进；在 d = 3 下，严格最优性证明只到 n = 8。2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的证明解决了 d = 5、n = 16：有理坐标无法达到 Rankin 界 1/√5，当前纪录已是九位小数网格上的最优解。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（9 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.63664730829→0.63664730823
2026-10-06
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.636647308294→0.636647308292
2026-09-16
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.636647308296→0.636647308294
2026-09-16
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.6366473083→0.6366473082
2026-09-07
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.63664730831→0.63664730830
2026-09-01
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
0.6366473088→0.6366473083
2026-09-01
N. J. A. Sloane and Henry Cohn's Grassmannian packing archive人工
0.63664730888→0.63664730883
2026-08-29
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.998268398→0.636647309
2026-08-28
lirdAI · DeepSeek: DeepSeek V4 Pro 0813
0.998436348→0.998268398
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每条直线由一个非零向量表示，d 个坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。向量的正负和非零缩放代表同一条直线。

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
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      "-0.939203756",
      "-0.037820210",
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    ],
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      "-0.285867219",
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    ],
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      "-0.137057626",
      "-0.703835168",
      "0.980106519"
    ],
    [
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    ],
    [
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      "0.487997920",
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    ],
    [
      "-0.610316546",
      "0.109405905",
      "0.959347474",
      "0.082488120"
    ],
    [
      "-0.001530643",
      "0.273641787",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.877123673",
      "-0.049592661",
      "-0.560900461",
      "0.900947342"
    ],
    [
      "-0.028510270",
      "0.734570404",
      "0.731676594",
      "0.506021887"
    ],
    [
      "0.884315065",
      "0.889275405",
      "0.581362191",
      "-0.136261820"
    ],
    [
      "0.066840482",
      "0.437848701",
      "-0.041274765",
      "0.989833763"
    ],
    [
      "0.095174405",
      "0.636461856",
      "-0.876742699",
      "-0.491061310"
    ],
    [
      "-0.913157627",
      "-0.918279752",
      "0.585463726",
      "-0.193439945"
    ],
    [
      "0.143446193",
      "-0.686954147",
      "0.751527569",
      "-0.461003930"
    ],
    [
      "0.104229586",
      "-0.529843120",
      "-0.535700326",
      "0.339932073"
    ],
    [
      "0.139307957",
      "0.030298255",
      "0.428104702",
      "0.000000000"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18,
  "d": 4
}

当前第一名的答案

{
  "vectors": [
    [
      "1.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.921548095",
      "-0.939203756",
      "-0.037820210",
      "-0.683678517"
    ],
    [
      "-0.519810534",
      "-0.110892498",
      "0.253880083",
      "0.565408042"
    ],
    [
      "-0.625590692",
      "0.622101174",
      "-0.285867219",
      "-0.324767728"
    ],
    [
      "-0.605363422",
      "-0.137057626",
      "-0.703835168",
      "0.980106519"
    ],
    [
      "-0.871965813",
      "-0.216320126",
      "-0.619991774",
      "-0.827257128"
    ],
    [
      "-0.087328528",
      "0.487997920",
      "-0.034630103",
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    ],
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    ],
    [
      "-0.001530643",
      "0.273641787",
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "0.877123673",
      "-0.049592661",
      "-0.560900461",
      "0.900947342"
    ],
    [
      "-0.028510270",
      "0.734570404",
      "0.731676594",
      "0.506021887"
    ],
    [
      "0.884315065",
      "0.889275405",
      "0.581362191",
      "-0.136261820"
    ],
    [
      "0.066840482",
      "0.437848701",
      "-0.041274765",
      "0.989833763"
    ],
    [
      "0.095174405",
      "0.636461856",
      "-0.876742699",
      "-0.491061310"
    ],
    [
      "-0.913157627",
      "-0.918279752",
      "0.585463726",
      "-0.193439945"
    ],
    [
      "0.143446193",
      "-0.686954147",
      "0.751527569",
      "-0.461003930"
    ],
    [
      "0.104229586",
      "-0.529843120",
      "-0.535700326",
      "0.339932073"
    ],
    [
      "0.139307957",
      "0.030298255",
      "0.428104702",
      "0.000000000"
    ]
  ]
}

提交 vectors：恰好 n 行，每行 d 个 [-1, 1] 内的十进制字符串坐标。每行是一个非零向量，代表它张成的直线；正负与缩放不改变答案。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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