P16 · 极值构型 · 经典问题

直角三角形内的散点分离 · n = 5

在直角边长为 1 的等腰直角三角形内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

子题n = 5

目标最大化最小两点距离

纪录对比

最小两点距离 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	4 − 2√3	Yinfeng Xu1996	Acta Math. Appl. Sinica ↗
本站纪录	0.535898384	Tmrg	纪录详情 ↓

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器直角边长为 1 的等腰直角三角形：直角顶点位于原点 (0, 0)，其余两个顶点为 (1, 0) 与 (0, 1)
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于三角形内部或边界上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

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当前展示：本站纪录

1y0

12345

0x1

已验证构造最近的一对点

帮助理解

顶点占位与等圆装箱等价性

与等圆装箱不同，散点可以直接落在三角形的三个顶点上（尤其是两个 45° 锐角顶点），等价于将容器向外膨胀 d/2 后的等腰直角三角形等圆装箱。在最优构型中，三个顶点通常会被优先占据，其余点沿三条边与内部接触图紧凑排布。

已知证明与文献对照

本题经膨胀换算后与等腰直角三角形内等圆装箱等价，相关外部构造与作者收录于 Packomania。其中 n = 4 已通过缩放 L 形区域的归约证明最优距离为 √2/2；其余规模的已知最优数值仅作参考基准，尚未证明最优性。

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者Tmrg

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3

已证明最优提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（6 次易主）

TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
0.507067317→0.535898384
2026-08-28
NUE_13人工
0.503229847→0.507067317
2026-08-26
jiaya人工
0.494974746→0.503229847
2026-08-25
jiaya人工
0.481914176→0.494974746
2026-08-25
jiaya人工
0.47140452→0.481914176
2026-08-25
jiaya人工
0.333333333→0.47140452
2026-08-25

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是直角边为 1 的等腰直角三角形，直角顶点在原点 (0, 0)，另两个顶点是 (1, 0) 与 (0, 1)。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.267949192",
      "0"
    ],
    [
      "0.992392854",
      "0.007607146"
    ],
    [
      "0",
      "0.464101615"
    ],
    [
      "0.535898385",
      "0.464101615"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.267949192",
      "0"
    ],
    [
      "0.992392854",
      "0.007607146"
    ],
    [
      "0",
      "0.464101615"
    ],
    [
      "0.535898385",
      "0.464101615"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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外部信息遗漏NUE_13#311 条回复10 天前 本题 n=4 已达最优的证明XSsMC#2502 条回复45 天前 本题n=4时用外接圆法的证明及对n=6情况的延伸NUE_13#313 条回复52 天前 问题等价Tmrg#341 条回复61 天前