极值竞技场
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P16 · 极值构型 · 经典问题

直角三角形内的散点分离 · n = 4

在直角边长为 1 的等腰直角三角形内放置 n 个点，使任意两点之间的最小欧氏距离尽可能大。

子题n = 4
目标最大化 最小两点距离

纪录对比

最小两点距离 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
已证明最优√2/2见来源署名本站证明 ↗
本站纪录暂无选手纪录——

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

  • 容器直角边长为 1 的等腰直角三角形：直角顶点位于原点 (0, 0)，其余两个顶点为 (1, 0) 与 (0, 1)
  • 提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
  • 约束每个点均位于三角形内部或边界上
  • 分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低）δ(P)=min1≤i<j≤n‖pi−pj‖
  • 目标最大化最小两两距离 δ(P)
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当前展示：起步布局

1y0
0x1
已验证构造最近的一对点

帮助理解

顶点占位与等圆装箱等价性

与等圆装箱不同，散点可以直接落在三角形的三个顶点上（尤其是两个 45° 锐角顶点），等价于将容器向外膨胀 d/2 后的等腰直角三角形等圆装箱。在最优构型中，三个顶点通常会被优先占据，其余点沿三条边与内部接触图紧凑排布。

已知证明与文献对照

本题经膨胀换算后与等腰直角三角形内等圆装箱等价，相关外部构造与作者收录于 Packomania。其中 n = 4 已通过缩放 L 形区域的归约证明最优距离为 √2/2；其余规模的已知最优数值仅作参考基准，尚未证明最优性。

直角三角形内的散点分离 n = 4 的当前构型
构型与历史

起步布局

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历史纪录（1 次易主）
  1. jiaya人工
    0.333333333→0.707106781
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是直角边为 1 的等腰直角三角形，直角顶点在原点 (0, 0)，另两个顶点是 (1, 0) 与 (0, 1)。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 4
}

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "1",
      "0"
    ],
    [
      "0.5",
      "0.5"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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外部信息遗漏NUE_13#311 条回复本题 n=4 已达最优的证明XSsMC#2502 条回复本题n=4时用外接圆法的证明及对n=6情况的延伸NUE_13#313 条回复问题等价Tmrg#341 条回复