P53 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 基线易突破 · 难

最大的小多边形 · n = 16

文献中也称biggest little polygonlargest small polygon

在平面上取 n 个两两距离不超过 1 的点，使它们作为严格凸包顶点围成的凸 n 边形面积尽可能大。

子题n = 16

目标最大化面积

纪录对比

面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.7718613215, 0.7718613225]	见来源署名	arxiv.org ↗
本站纪录	0.771861321957072239	邱仲普	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器无容器约束：仅要求点集直径不超过 1，坐标写在 [0, 1.5] × [0, 1.5] 内
提交恰好 n 个点 points
约束任意两点距离 ≤ 1；每个点都必须是凸包的严格顶点
面积qᵢ = (xᵢ,yᵢ) 为验证器按凸包逆时针重排后的顶点（提交时无需按此顺序）；验证器在内部按鞋带公式计算的 2A(P) 作精确比较 $A (P) = \frac{1}{2} | \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i}) |, q_{n + 1} = q_{1}$
目标在所有直径不超过 1 的凸 n 边形 P 中最大化面积 A(P) $\max_{P} A (P)$

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当前展示：本站纪录

1.5y0

12345678910111213141516

0x1.5

已验证构造围成的凸多边形，以及最长的一对点

帮助理解

为什么只收录偶数 n

当 n 为奇数时，正 n 边形早已被证明是直径为 1 的最大面积凸多边形；而当 n 为偶数时，正 n 边形都可以被非对称构形超越，例如 Graham 六边形的面积比等直径正六边形大近 4%。因此本题仅收录偶数规模。

研究进展

奇数 n 的最优性由 Reinhardt (1922) 证明。偶数侧 n = 6, 8, 10, 12 的最优构形已获证明（自 Graham 1975 起至 Audet 等人），n ≥ 14 仅有数值搜索给出的最好构形，尚未证明最优。

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

使用 1e-9 整数网格对凸多边形顶点做局部坐标精修，保持所有点对距离不超过单位直径并保持凸性；候选面积由独立整数计算器复核后提交。

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历史纪录（5 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.7718613219541038145→0.771861321957072239
2026-10-23
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.7718613219262744605→0.7718613219541038145
2026-10-05
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.771861321861145661→0.7718613219262744605
2026-10-02
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.7718613216315191835→0.771861321861145661
2026-09-16
鸽者人工
0.7718613215637838665→0.7718613216315191835
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

本题仅要求任意两点距离不超过 1。直径不超过 1 的点集总能放进 1 × 1 的正方形，提交框 [0, 1.5] × [0, 1.5] 四周留有充裕余量，不会限制构形形状。坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.25"，最多九位小数。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.287574356",
      "0.747367154"
    ],
    [
      "0.297081787",
      "0.615377746"
    ],
    [
      "0.383334540",
      "0.440872167"
    ],
    [
      "0.536951122",
      "0.309792429"
    ],
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      "0.730919189",
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    ],
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    ],
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    ],
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      "1.234888460",
      "0.536387293"
    ],
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      "1.287558148",
      "0.753060636"
    ],
    [
      "1.232424656",
      "0.969120191"
    ],
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      "1.105926464",
      "1.132147012"
    ],
    [
      "0.927516728",
      "1.230367525"
    ],
    [
      "0.725225707",
      "1.249867045"
    ],
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      "1.187753090"
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      "1.054932640"
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      "0.295578232",
      "0.879456230"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.287574356",
      "0.747367154"
    ],
    [
      "0.297081787",
      "0.615377746"
    ],
    [
      "0.383334540",
      "0.440872167"
    ],
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      "0.536951122",
      "0.309792429"
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      "0.932975044",
      "0.271684949"
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      "1.054932640"
    ],
    [
      "0.295578232",
      "0.879456230"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.25"，最多九位小数。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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