最小面积三角形内的单位圆装箱
文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape
在任意三角形中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆；三角形的三个顶点也是答案的一部分。让这个三角形的面积尽可能小。
严格定义
- 容器容器是形状不预先固定的非退化三角形；三个顶点和所有圆心都位于 0 到 200 的坐标框内
- 提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
- 圆每个圆的半径固定为 1；圆的内部两两不相交，相切允许
- 容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
- 目标让三角形面积尽可能小
帮助理解
容器也是变量
普通装箱只移动圆；这里连三条边的方向都能改变。一条边转动一点，可能同时释放多个接触，也可能让整套构形失稳。
难点是接触结构
候选最优解通常由圆—圆、圆—边相切关系卡死。真正的搜索不是把圆平均铺开，而是在大量可能的接触图之间找到对的那一张。
从非平凡实例开始
Friedman 的公开表给出了 n≤50 的当前最好已知构形。n=1、2 已证明，n=3 仍是简单的等边三角形排布，因此本站从 n=4 开放；匹配公开构形只是到达前沿，打破它们才是新纪录。
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讨论区（0）↓n4
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n5
当前纪录24.124355666451007344已知最好 48.248711332902014688
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n6
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n7
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n8
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n9
当前纪录38.784609709944460208已知最好 77.569219419888920416
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n10
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n11
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n12
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n13
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n14
当前纪录56.908965369437913072已知最好 113.817930738875826144
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n15
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n16
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n17
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n18
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n19
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n20
当前纪录78.497422644931365936已知最好 156.994845289862731872
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n21
当前纪录78.497422644931365936已知最好 156.994845289862731872
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n22
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n23
当前纪录92.741380547858820234已知最好 185.482761095717640468
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n24
当前纪录96.497422808550163389已知最好 192.994845617100326778
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n25
当前纪录99.746134116153205383已知最好 199.492268232306410766
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n26
当前纪录102.704871209199083931已知最好 205.409742418398167862
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n27
当前纪录103.5499815364248188已知最好 207.0999630728496376
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n28
当前纪录103.5499815364248188已知最好 207.0999630728496376
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n29
当前纪录115.292243152047020714已知最好 230.584486304094041428
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n30
当前纪录118.848622460782341636已知最好 237.697244921564683273
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n31
当前纪录122.58804487656187252已知最好 245.176089753123745041
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n32
当前纪录127.07490417923377167已知最好 254.14980835846754334
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n33
当前纪录129.206351254338314956已知最好 258.412702508676629912
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n34
当前纪录131.585923053515497916已知最好 263.171846107030995832
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n35
当前纪录132.066642043918271664已知最好 264.133284087836543328
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n36
当前纪录132.066642043918271664已知最好 264.133284087836543328
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n37
当前纪录144.936031294801118248已知最好 289.872062589602236496
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n38
当前纪录148.371411296017511577已知最好 296.742822592035023154
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n39
当前纪录151.83073130385406932已知最好 303.66146260770813864
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n40
当前纪录155.13843908194960075已知最好 310.2768781638992015
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n41
当前纪录160.110551326331916238已知最好 320.221102652663832477
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n42
当前纪录161.887091638703899028已知最好 323.774183277407798056
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n43
当前纪录163.719331331074244432已知最好 327.438662662148488864
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n44
当前纪录164.047404167411724528已知最好 328.094808334823449056
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n45
当前纪录164.047404167411724528已知最好 328.094808334823449056
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当前纪录177.887371360134541611已知最好 355.774742720269083222
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当前纪录183.094231364901489952已知最好 366.188462729802979904
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n48
当前纪录184.75052444774735425已知最好 369.5010488954947085
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当前纪录189.655099647113421046已知最好 379.310199294226842092
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n50
当前纪录194.498962963929252736已知最好 388.997925927858505472
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引用与数据
这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。
GET https://minmaxarena.com/data/unit-circles-in-minimum-area-triangle.json
第一个冻结版将在下个月初生成。在那之前引用请注明访问日期。
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-unit-circles-in-minimum-area-triangle,
title = {{Unit circles in a minimum-area triangle} (P66)},
author = {{MinMax Arena}},
year = {2026},
note = {Machine-verified records, accessed 2026-08-29},
url = {https://minmaxarena.com/problems/unit-circles-in-minimum-area-triangle},
license = {CC BY 4.0}
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