P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题

最小面积三角形内的单位圆装箱

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

已验证构造10 个半径为 1 的圆

n = 10当前纪录 · 打开子题

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

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当前纪录19.3923048486324840815已知最好 9 + 6√3

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当前纪录24.124355653180826755已知最好 12 + 7√3

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当前纪录24.124355659716054925已知最好 12 + 7√3

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当前纪录31.2121776589315350325已知最好 [31.212, 31.213]

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当前纪录35.93642283165247292已知最好 [35.936, 35.937]

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当前纪录38.784609693336059739已知最好 18 + 12√3

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当前纪录38.784609697279413042已知最好 18 + 12√3

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当前纪录47.003545251932505066已知最好 [47.003, 47.004]

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当前纪录51.304020975517112964已知最好 [51.304, 51.305]

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当前纪录54.8949652768913927675已知最好 [54.894, 54.895]

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当前纪录56.90896535489462367已知最好 24 + 19√3

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当前纪录56.908965360132545964已知最好 24 + 19√3

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当前纪录66.033321017593110428已知最好 21 + 26√3

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当前纪录70.2750675121253867105已知最好 [70.275, 70.276]

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当前纪录74.8033529496800224215已知最好 [74.803, 74.804]

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当前纪录77.34617465654030966已知最好 [77.346, 77.347]

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当前纪录78.497422624711541437已知最好 30 + 28√3

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当前纪录78.497422628688281192已知最好 30 + 28√3

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当前纪录89.1277441690301888935已知最好 [89.127, 89.128]

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当前纪录92.741380391028567576已知最好 [92.74138, 92.74139]

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当前纪录96.497422650875826144已知最好 48 + 28√3

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当前纪录99.746133953452588696已知最好 27 + 42√3

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当前纪录102.7048681448774838585已知最好 [102.704868097, 102.70488]

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当前纪录103.54998152436426135已知最好 36 + 39√3

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当前纪录103.549981514242745283已知最好 36 + 39√3

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当前纪录115.292242985694923227已知最好 [115.29224, 115.29225]

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当前纪录118.848622274212988655已知最好 [118.84862, 118.84863]

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当前纪录122.58804469790485588已知最好 [122.58804, 122.58805]

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当前纪录127.074904016320079535已知最好 [127.07490, 127.07491]

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当前纪录129.206348134521487921已知最好 [129.206348075, 129.20636]

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当前纪录131.585922831270990232已知最好 [131.58592, 131.58593]

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当前纪录132.0666420093831393505已知最好 42 + 52√3

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当前纪录132.066641995316021286已知最好 42 + 52√3

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当前纪录144.877234995027470208已知最好 [144.87723, 144.87724)

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当前纪录148.37140971980877121已知最好 [148.371409637, 148.37142]

已追平已知最好

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当前纪录151.830724821787259128已知最好 [151.830724748, 151.83074]

已追平已知最好

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当前纪录155.1384388208496376已知最好 72 + 48√3

纪录保持者condor

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当前纪录159.440748796630442832已知最好 [160.08329, 160.08330)

数值领先（待审核）

纪录保持者condor

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当前纪录161.88709138917473461已知最好 [161.88709, 161.88710]

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当前纪录163.7193273675825288605已知最好 [163.719327302, 163.71934]

已追平已知最好

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当前纪录164.047404155357160294已知最好 48 + 67√3

纪录保持者condor

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当前纪录164.047404138929743008已知最好 48 + 67√3

纪录保持者condor

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当前纪录177.887369133417315928已知最好 [177.887369044, 177.88738]

已追平已知最好

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当前纪录181.356482341027393544已知最好 [181.35648, 181.35649)

已追平已知最好

纪录保持者condor

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当前纪录184.6142485229754459375已知最好 [184.75052, 184.75053]

数值领先（待审核）

纪录保持者zzzcy

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当前纪录187.956369497045302558已知最好 84 + 61√3

数值领先（待审核）

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当前纪录193.318101562948860608已知最好 [194.49896, 194.49897]

数值领先（待审核）

纪录保持者zzzcy

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/unit-circles-in-minimum-area-triangle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/unit-circles-in-minimum-area-triangle.json

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@misc{minmaxarena-unit-circles-in-minimum-area-triangle-2026-10,
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  author = {{MinMax Arena}},
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  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/unit-circles-in-minimum-area-triangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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