P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 48

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 48

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[184.75052, 184.75053]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	184.6142485229754459375	zzzcy	纪录详情 ↓

数值超出外部纪录区间 · 待审核。

严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造48 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（2 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
184.614248542190787528→184.6142485229754459375
2026-10-04
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
184.75052444774735425→184.614248542190787528
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "8.415626958",
      "16.753235478"
    ],
    [
      "9.428775813",
      "15.001486074"
    ],
    [
      "7.431183649",
      "14.903376167"
    ],
    [
      "8.514945402",
      "13.222465561"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "13.124355655"
    ],
    [
      "6.552155171",
      "12.838467502"
    ],
    [
      "9.512410795",
      "11.392378044"
    ],
    [
      "11.512537565",
      "11.392304847"
    ],
    [
      "6.922171978",
      "10.872993624"
    ],
    [
      "5.249018386",
      "9.777294277"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "12.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "7.370171564",
      "8.013768168"
    ],
    [
      "9.512537565",
      "7.928203231"
    ],
    [
      "11.512537565",
      "7.928203231"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "7.928203232"
    ],
    [
      "5.288294691",
      "7.777679971"
    ],
    [
      "3.819791445",
      "6.419925126"
    ],
    [
      "6.512537564",
      "6.196152422"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "6.196152423"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "6.196152423"
    ],
    [
      "12.512537566",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "14.512537566",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "5.511221184",
      "4.464862283"
    ],
    [
      "3.485308886",
      "4.448093130"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "7.512537565",
      "4.464101615"
    ],
    [
      "9.512537565",
      "4.464101615"
    ],
    [
      "11.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "15.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "4.512537562",
      "2.732050809"
    ],
    [
      "6.512537562",
      "2.732050809"
    ],
    [
      "10.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "14.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "2.295907402",
      "2.840198820"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "2.732050807"
    ],
    [
      "12.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "16.512537567",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "1.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "3.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "7.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "9.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "11.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "15.512537567",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "17.512537567",
      "1.000000000"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "19.244588375",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "8.167491374",
      "19.186094805"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 48
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "8.415626958",
      "16.753235478"
    ],
    [
      "9.428775813",
      "15.001486074"
    ],
    [
      "7.431183649",
      "14.903376167"
    ],
    [
      "8.514945402",
      "13.222465561"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "13.124355655"
    ],
    [
      "6.552155171",
      "12.838467502"
    ],
    [
      "9.512410795",
      "11.392378044"
    ],
    [
      "11.512537565",
      "11.392304847"
    ],
    [
      "6.922171978",
      "10.872993624"
    ],
    [
      "5.249018386",
      "9.777294277"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "12.512537565",
      "9.660254039"
    ],
    [
      "7.370171564",
      "8.013768168"
    ],
    [
      "9.512537565",
      "7.928203231"
    ],
    [
      "11.512537565",
      "7.928203231"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "7.928203232"
    ],
    [
      "5.288294691",
      "7.777679971"
    ],
    [
      "3.819791445",
      "6.419925126"
    ],
    [
      "6.512537564",
      "6.196152422"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "6.196152423"
    ],
    [
      "10.512537565",
      "6.196152423"
    ],
    [
      "12.512537566",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "14.512537566",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "5.511221184",
      "4.464862283"
    ],
    [
      "3.485308886",
      "4.448093130"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "7.512537565",
      "4.464101615"
    ],
    [
      "9.512537565",
      "4.464101615"
    ],
    [
      "11.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "15.512537566",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "4.512537562",
      "2.732050809"
    ],
    [
      "6.512537562",
      "2.732050809"
    ],
    [
      "10.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "14.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "2.295907402",
      "2.840198820"
    ],
    [
      "8.512537565",
      "2.732050807"
    ],
    [
      "12.512537566",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "16.512537567",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "1.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "3.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "7.512537564",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "9.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "11.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "13.512537566",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "15.512537567",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "17.512537567",
      "1.000000000"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "19.244588375",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "8.167491374",
      "19.186094805"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

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