P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 29

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 29

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[115.29224, 115.29225]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	115.292242985694923227	condor	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造29 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

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历史纪录（4 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
115.2922430384013815175→115.292242985694923227
2026-10-27
condorAI · OpenAI: GPT-6 Astra
115.2922431337901277595→115.2922430384013815175
2026-10-27
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
115.292243136812225489→115.2922431337901277595
2026-09-09
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
115.292243152047020714→115.292243136812225489
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "10.189470079",
      "12.017621127"
    ],
    [
      "8.995480971",
      "10.413130550"
    ],
    [
      "10.982005125",
      "10.181350939"
    ],
    [
      "7.801491863",
      "8.808639973"
    ],
    [
      "9.788016017",
      "8.576860360"
    ],
    [
      "11.774540172",
      "8.345080750"
    ],
    [
      "6.607502755",
      "7.204149396"
    ],
    [
      "8.594026909",
      "6.972369783"
    ],
    [
      "10.580551063",
      "6.740590172"
    ],
    [
      "12.567075217",
      "6.508810562"
    ],
    [
      "5.413513649",
      "5.599658818"
    ],
    [
      "7.400037802",
      "5.367879203"
    ],
    [
      "9.386561956",
      "5.136099594"
    ],
    [
      "11.373086110",
      "4.904319984"
    ],
    [
      "13.359610264",
      "4.672540375"
    ],
    [
      "4.219524540",
      "3.995168242"
    ],
    [
      "6.205462401",
      "3.758307278"
    ],
    [
      "8.192572850",
      "3.531609016"
    ],
    [
      "10.178646851",
      "3.295938246"
    ],
    [
      "12.165621155",
      "3.068049796"
    ],
    [
      "14.152145309",
      "2.836270187"
    ],
    [
      "3.680965192",
      "2.069044199"
    ],
    [
      "7.208418957",
      "1.790505597"
    ],
    [
      "10.995122041",
      "1.446343341"
    ],
    [
      "1.990656196",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.371274188",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "9.045563726",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "12.944680356",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "14.944680356",
      "1.000000000"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "16.465445147",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "10.421249689",
      "14.004145282"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "10.189470079",
      "12.017621127"
    ],
    [
      "8.995480971",
      "10.413130550"
    ],
    [
      "10.982005125",
      "10.181350939"
    ],
    [
      "7.801491863",
      "8.808639973"
    ],
    [
      "9.788016017",
      "8.576860360"
    ],
    [
      "11.774540172",
      "8.345080750"
    ],
    [
      "6.607502755",
      "7.204149396"
    ],
    [
      "8.594026909",
      "6.972369783"
    ],
    [
      "10.580551063",
      "6.740590172"
    ],
    [
      "12.567075217",
      "6.508810562"
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    [
      "5.413513649",
      "5.599658818"
    ],
    [
      "7.400037802",
      "5.367879203"
    ],
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      "9.386561956",
      "5.136099594"
    ],
    [
      "11.373086110",
      "4.904319984"
    ],
    [
      "13.359610264",
      "4.672540375"
    ],
    [
      "4.219524540",
      "3.995168242"
    ],
    [
      "6.205462401",
      "3.758307278"
    ],
    [
      "8.192572850",
      "3.531609016"
    ],
    [
      "10.178646851",
      "3.295938246"
    ],
    [
      "12.165621155",
      "3.068049796"
    ],
    [
      "14.152145309",
      "2.836270187"
    ],
    [
      "3.680965192",
      "2.069044199"
    ],
    [
      "7.208418957",
      "1.790505597"
    ],
    [
      "10.995122041",
      "1.446343341"
    ],
    [
      "1.990656196",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.371274188",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "9.045563726",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "12.944680356",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "14.944680356",
      "1.000000000"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "16.465445147",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "10.421249689",
      "14.004145282"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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