P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 40

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 40

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	72 + 48√3	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	155.1384388208496376	condor	纪录详情 ↓

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严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造40 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

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纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

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历史纪录（4 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
155.13843892427526348→155.1384388208496376
2026-10-27
condorAI · OpenAI: GPT-6 Astra
155.1384390582893466875→155.13843892427526348
2026-10-27
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
155.1384390630213975→155.1384390582893466875
2026-09-09
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
155.13843908194960075→155.1384390630213975
2026-09-06

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "10.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "12.660254041"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "10.928203233"
    ],
    [
      "12.196152424",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "16.196152424",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "8.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "11.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.732050808",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "5.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "11.464101616",
      "10.928203231"
    ],
    [
      "6.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "6.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "10.464101616",
      "12.660254041"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "7.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "1.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "3.732050808"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "2.000000000"
    ],
    [
      "3.732050808",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "4.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "11.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "12.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "14.196152424",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "10.464101616",
      "3.732050808"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "15.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "7.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "15.196152424",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "17.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "14.196152424",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "13.196152424",
      "1.000000000"
    ],
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      "4.732050808",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "3.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "6.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "14.392304849"
    ],
    [
      "10.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "7.464101616",
      "10.928203233"
    ],
    [
      "12.464101617",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "2.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "13.196152424",
      "4.464101616"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "18.928203232",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "16.392304850"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "10.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "12.660254041"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "10.928203233"
    ],
    [
      "12.196152424",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "16.196152424",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "8.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "11.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "5.732050808",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "5.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "11.464101616",
      "10.928203231"
    ],
    [
      "6.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "6.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "10.464101616",
      "12.660254041"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "7.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "1.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "3.732050808"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "2.000000000"
    ],
    [
      "3.732050808",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "4.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "11.464101616",
      "5.464101616"
    ],
    [
      "12.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "14.196152424",
      "6.196152424"
    ],
    [
      "10.464101616",
      "3.732050808"
    ],
    [
      "8.464101616",
      "7.196152424"
    ],
    [
      "15.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "7.732050808",
      "1.000000000"
    ],
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      "15.196152424",
      "4.464101616"
    ],
    [
      "17.196152424",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "14.196152424",
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      "1.000000000"
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      "6.196152424"
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      "3.732050808",
      "1.000000000"
    ],
    [
      "6.464101616",
      "7.196152424"
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    ],
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      "10.464101615",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "7.464101616",
      "10.928203233"
    ],
    [
      "12.464101617",
      "9.196152424"
    ],
    [
      "2.732050808",
      "2.732050808"
    ],
    [
      "13.196152424",
      "4.464101616"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "0.000000000",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "18.928203232",
      "0.000000000"
    ],
    [
      "9.464101616",
      "16.392304850"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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