P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 26

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 26

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[102.704868097, 102.70488]	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	102.7048681448774838585	condor	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造26 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

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纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Terra

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历史纪录（3 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Terra
102.70486815755333778→102.7048681448774838585
2026-11-02
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
102.704868171923083464→102.70486815755333778
2026-10-04
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
102.704871209199083931→102.704868171923083464
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "21.732050804",
      "20.999999997"
    ],
    [
      "23.732050805",
      "20.999999998"
    ],
    [
      "25.732050806",
      "20.999999999"
    ],
    [
      "27.732050807",
      "21.000000000"
    ],
    [
      "29.732050810",
      "21.000000001"
    ],
    [
      "31.828157780",
      "21.000000004"
    ],
    [
      "33.828157786",
      "21.000000004"
    ],
    [
      "22.732050804",
      "22.732050805"
    ],
    [
      "24.732050805",
      "22.732050806"
    ],
    [
      "26.732050806",
      "22.732050807"
    ],
    [
      "28.732050807",
      "22.732050808"
    ],
    [
      "30.780104292",
      "22.703403623"
    ],
    [
      "32.780103505",
      "22.758919939"
    ],
    [
      "23.732050804",
      "24.464101613"
    ],
    [
      "25.732050805",
      "24.464101614"
    ],
    [
      "27.732050806",
      "24.464101615"
    ],
    [
      "29.732050807",
      "24.464101616"
    ],
    [
      "31.732050017",
      "24.462323558"
    ],
    [
      "24.732050804",
      "26.196152421"
    ],
    [
      "26.732050805",
      "26.196152422"
    ],
    [
      "30.632047191",
      "26.250160549"
    ],
    [
      "25.732050804",
      "27.928203229"
    ],
    [
      "28.675906553",
      "26.666710432"
    ],
    [
      "27.277212834",
      "29.198035621"
    ],
    [
      "29.185894466",
      "28.600595726"
    ],
    [
      "27.604338929",
      "31.171101388"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "19.999999996",
      "19.999999996"
    ],
    [
      "35.651704579",
      "20.000000004"
    ],
    [
      "27.577025611",
      "33.123793335"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 26
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "21.732050804",
      "20.999999997"
    ],
    [
      "23.732050805",
      "20.999999998"
    ],
    [
      "25.732050806",
      "20.999999999"
    ],
    [
      "27.732050807",
      "21.000000000"
    ],
    [
      "29.732050810",
      "21.000000001"
    ],
    [
      "31.828157780",
      "21.000000004"
    ],
    [
      "33.828157786",
      "21.000000004"
    ],
    [
      "22.732050804",
      "22.732050805"
    ],
    [
      "24.732050805",
      "22.732050806"
    ],
    [
      "26.732050806",
      "22.732050807"
    ],
    [
      "28.732050807",
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    ],
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      "24.464101613"
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      "25.732050805",
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      "27.732050806",
      "24.464101615"
    ],
    [
      "29.732050807",
      "24.464101616"
    ],
    [
      "31.732050017",
      "24.462323558"
    ],
    [
      "24.732050804",
      "26.196152421"
    ],
    [
      "26.732050805",
      "26.196152422"
    ],
    [
      "30.632047191",
      "26.250160549"
    ],
    [
      "25.732050804",
      "27.928203229"
    ],
    [
      "28.675906553",
      "26.666710432"
    ],
    [
      "27.277212834",
      "29.198035621"
    ],
    [
      "29.185894466",
      "28.600595726"
    ],
    [
      "27.604338929",
      "31.171101388"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "19.999999996",
      "19.999999996"
    ],
    [
      "35.651704579",
      "20.000000004"
    ],
    [
      "27.577025611",
      "33.123793335"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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