P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 15

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 15

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	24 + 19√3	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	56.908965360132545964	condor	纪录详情 ↓

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严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造15 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

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纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Terra

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历史纪录（2 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Terra
56.908965363705862264→56.908965360132545964
2026-11-02
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
56.908965369437913072→56.908965363705862264
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "43.594663744",
      "38.427185682"
    ],
    [
      "43.141808456",
      "40.375241659"
    ],
    [
      "42.688953168",
      "42.323297636"
    ],
    [
      "42.236097880",
      "44.271353613"
    ],
    [
      "41.783242592",
      "46.219409590"
    ],
    [
      "41.681170136",
      "39.009029487"
    ],
    [
      "41.228314848",
      "40.957085464"
    ],
    [
      "40.775459560",
      "42.905141441"
    ],
    [
      "40.322604272",
      "44.853197418"
    ],
    [
      "39.767676528",
      "39.590873292"
    ],
    [
      "39.314821240",
      "41.538929269"
    ],
    [
      "38.861965952",
      "43.486985246"
    ],
    [
      "37.854182920",
      "40.172717097"
    ],
    [
      "37.401327632",
      "42.120773074"
    ],
    [
      "35.940689312",
      "40.754560902"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "44.960875916",
      "36.966547362"
    ],
    [
      "42.365086397",
      "48.132903198"
    ],
    [
      "33.992633335",
      "40.301705614"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "43.594663744",
      "38.427185682"
    ],
    [
      "43.141808456",
      "40.375241659"
    ],
    [
      "42.688953168",
      "42.323297636"
    ],
    [
      "42.236097880",
      "44.271353613"
    ],
    [
      "41.783242592",
      "46.219409590"
    ],
    [
      "41.681170136",
      "39.009029487"
    ],
    [
      "41.228314848",
      "40.957085464"
    ],
    [
      "40.775459560",
      "42.905141441"
    ],
    [
      "40.322604272",
      "44.853197418"
    ],
    [
      "39.767676528",
      "39.590873292"
    ],
    [
      "39.314821240",
      "41.538929269"
    ],
    [
      "38.861965952",
      "43.486985246"
    ],
    [
      "37.854182920",
      "40.172717097"
    ],
    [
      "37.401327632",
      "42.120773074"
    ],
    [
      "35.940689312",
      "40.754560902"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "44.960875916",
      "36.966547362"
    ],
    [
      "42.365086397",
      "48.132903198"
    ],
    [
      "33.992633335",
      "40.301705614"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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