P66 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

最小面积三角形内的单位圆装箱 · n = 21

文献中也称circles in arbitrary trianglesunit circles in a minimum-area trianglecircle packing in a triangle of variable shape

在平面上选定一个三角形并在其中放置 n 个半径为 1、内部互不重叠的圆，最小化该三角形的面积。

子题n = 21

目标最小化三角形面积

纪录对比

三角形面积 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	30 + 28√3	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	78.497422628688281192	condor	纪录详情 ↓

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严格定义

容器形状不预先固定的非退化三角形，三个顶点与所有圆心均位于 [0, 200]² 坐标范围内
提交三个按逆时针顺序排列的三角形顶点，以及恰好 n 个圆心
圆每个圆的半径固定为 1，各圆内部互不相交，允许外切
容纳每个圆都完整落在三角形内，可以与边相切
目标最小化三角形的面积

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当前展示：本站纪录

已验证构造21 个半径为 1 的圆

帮助理解

边界与内部排布耦合

除圆心位置外，三角形三条边的方向和长短也可自由调节。微调一条边的倾角，往往会同时改变多处圆与边的相切关系。

刚性接触图

局部最优构型通常由圆与圆、圆与边的相切关系锁定。求解的关键在于从众多可能的相切拓扑中找出最紧凑的接触图。

已知构造与开放区间

Friedman 的公开列表整理了 n ≤ 50 的已知最佳构型。其中 n = 1、2 已有严格证明，n = 3 为基础的正三角形排布，因此本题从 n = 4 开始设题。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Terra

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历史纪录（2 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Terra
78.497422638199315128→78.497422628688281192
2026-11-02
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
78.497422644931365936→78.497422638199315128
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个圆的半径固定为 1。三角形的三个顶点（按逆时针排列）和所有圆心均须位于 0 ≤ x, y ≤ 200 的坐标范围内。

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "34.340435997",
      "44.147645701"
    ],
    [
      "35.542518531",
      "42.549209721"
    ],
    [
      "36.744601065",
      "40.950773741"
    ],
    [
      "37.946683599",
      "39.352337761"
    ],
    [
      "39.148766133",
      "37.753901781"
    ],
    [
      "40.350848667",
      "36.155465801"
    ],
    [
      "36.325763429",
      "44.389461723"
    ],
    [
      "37.527845963",
      "42.791025743"
    ],
    [
      "38.729928497",
      "41.192589763"
    ],
    [
      "39.932011031",
      "39.594153783"
    ],
    [
      "41.134093565",
      "37.995717803"
    ],
    [
      "38.311090861",
      "44.631277745"
    ],
    [
      "39.513173395",
      "43.032841765"
    ],
    [
      "40.715255929",
      "41.434405785"
    ],
    [
      "41.917338463",
      "39.835969805"
    ],
    [
      "40.296418293",
      "44.873093767"
    ],
    [
      "41.498500827",
      "43.274657787"
    ],
    [
      "42.700583361",
      "41.676221807"
    ],
    [
      "42.281745725",
      "45.114909789"
    ],
    [
      "43.483828259",
      "43.516473809"
    ],
    [
      "44.267073157",
      "45.356725811"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "32.500183995",
      "44.930890599"
    ],
    [
      "40.592664689",
      "34.170138369"
    ],
    [
      "45.865509137",
      "46.558808345"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "34.340435997",
      "44.147645701"
    ],
    [
      "35.542518531",
      "42.549209721"
    ],
    [
      "36.744601065",
      "40.950773741"
    ],
    [
      "37.946683599",
      "39.352337761"
    ],
    [
      "39.148766133",
      "37.753901781"
    ],
    [
      "40.350848667",
      "36.155465801"
    ],
    [
      "36.325763429",
      "44.389461723"
    ],
    [
      "37.527845963",
      "42.791025743"
    ],
    [
      "38.729928497",
      "41.192589763"
    ],
    [
      "39.932011031",
      "39.594153783"
    ],
    [
      "41.134093565",
      "37.995717803"
    ],
    [
      "38.311090861",
      "44.631277745"
    ],
    [
      "39.513173395",
      "43.032841765"
    ],
    [
      "40.715255929",
      "41.434405785"
    ],
    [
      "41.917338463",
      "39.835969805"
    ],
    [
      "40.296418293",
      "44.873093767"
    ],
    [
      "41.498500827",
      "43.274657787"
    ],
    [
      "42.700583361",
      "41.676221807"
    ],
    [
      "42.281745725",
      "45.114909789"
    ],
    [
      "43.483828259",
      "43.516473809"
    ],
    [
      "44.267073157",
      "45.356725811"
    ]
  ],
  "triangle": [
    [
      "32.500183995",
      "44.930890599"
    ],
    [
      "40.592664689",
      "34.170138369"
    ],
    [
      "45.865509137",
      "46.558808345"
    ]
  ]
}

提交按逆时针排列的三个三角形顶点 triangle 和恰好 n 个圆心坐标 centers。每个圆的半径固定为 1，所有数值写成最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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