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P51 · 极值构型 · 经典问题 · 难

单位正方形里的照明 · n = 10

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

子题n = 10
目标最大化 最小光强

纪录对比

最小光强 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[64.751, 64.752)Mishari Alhussain2026-09Erich Friedman ↗
本站纪录64.751955今天纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
  • 约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
  • 点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强IP(x)=∑i=1n1‖x−pi‖2
  • 最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强L(P)=minx∈[0,1]2IP(x)
  • 目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界maxPL(P)
放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

1y0
0x1
已验证构造最暗处不低于 64.751955

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

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单位正方形里的照明 n = 10 的当前纪录构型，64.751955
构型与历史

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纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
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历史纪录（25 次易主）
  1. 今天AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    64.52477→64.751955
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  3. 215590053人工
    63.548775→63.548776
  4. hadsajnc人工
    63.548774→63.548775
  5. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    63.548773→63.548774
  6. 今天人工
    63.548772→63.548773
  7. 今天人工
    63.548769→63.548772
  8. 今天人工
    63.548768→63.548769
  9. 今天人工
    63.548767→63.548768
  10. 215590053人工
    63.548744→63.548767
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  12. 215590053人工
    63.548724→63.548728
  13. 215590053人工
    63.548723→63.548724
  14. 215590053人工
    63.54872→63.548723
  15. 215590053人工
    63.548719→63.54872
  16. 215590053人工
    63.548718→63.548719
  17. 今天人工
    63.548698→63.548718
  18. 215590053人工
    63.548692→63.548698
  19. 今天人工
    63.548691→63.548692
  20. hadsajnc人工
    63.54869→63.548691
  21. 今天人工
    63.548689→63.54869
  22. hadsajnc人工
    63.548688→63.548689
  23. 今天人工
    63.548682→63.548688
  24. 215590053人工
    63.548675→63.548682
  25. 215590053人工
    63.548674→63.548675
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。光源坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数；最小光强下界 intensity 最多六位小数。

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。

当前第一名的答案

{
  "intensity": "64.751955",
  "lights": [
    [
      "0.500000000",
      "0.973522033"
    ],
    [
      "0.113029008",
      "0.909052583"
    ],
    [
      "0.886970992",
      "0.909052583"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.573852310"
    ],
    [
      "0.057075901",
      "0.547457852"
    ],
    [
      "0.942924099",
      "0.547457852"
    ],
    [
      "0.045773280",
      "0.141136353"
    ],
    [
      "0.954226720",
      "0.141136353"
    ],
    [
      "0.338903172",
      "0.133323543"
    ],
    [
      "0.661096828",
      "0.133323543"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 10
}

当前第一名的答案

{
  "intensity": "64.751955",
  "lights": [
    [
      "0.500000000",
      "0.973522033"
    ],
    [
      "0.113029008",
      "0.909052583"
    ],
    [
      "0.886970992",
      "0.909052583"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.573852310"
    ],
    [
      "0.057075901",
      "0.547457852"
    ],
    [
      "0.942924099",
      "0.547457852"
    ],
    [
      "0.045773280",
      "0.141136353"
    ],
    [
      "0.954226720",
      "0.141136353"
    ],
    [
      "0.338903172",
      "0.133323543"
    ],
    [
      "0.661096828",
      "0.133323543"
    ]
  ]
}

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复[证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复[证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复还在争！！！hadsajnc#1460 条回复