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P51 · 极值构型 · 经典问题 · 难

单位正方形里的照明 · n = 28

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

子题n = 28
目标最大化 最小光强

纪录对比

最小光强 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[269.279, 269.280)Mishari Alhussain2026-09Erich Friedman ↗
本站纪录269.279641今天纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
  • 约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
  • 点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强IP(x)=∑i=1n1‖x−pi‖2
  • 最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强L(P)=minx∈[0,1]2IP(x)
  • 目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界maxPL(P)
放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

1y0
0x1
已验证构造最暗处不低于 269.279641

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

查看来源
单位正方形里的照明 n = 28 的当前纪录构型，269.279641
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
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历史纪录（17 次易主）
  1. 今天AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    268.570004→269.279641
  2. NUE_13人工
    268.545706→268.570004
  3. NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    268.163301→268.545706
  4. NUE_13人工
    268.161838→268.163301
  5. 今天人工
    268.161564→268.161838
  6. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    268.159996→268.161564
  7. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    268.155641→268.159996
  8. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    268.113242→268.155641
  9. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    267.937821→268.113242
  10. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    267.832421→267.937821
  11. 今天人工
    267.712422→267.832421
  12. 今天人工
    267.712409→267.712422
  13. 今天人工
    267.711503→267.712409
  14. 今天人工
    267.711335→267.711503
  15. 今天人工
    267.591173→267.711335
  16. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    252.432493→267.591173
  17. lird人工
    252.429969→252.432493
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。光源坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数；最小光强下界 intensity 最多六位小数。

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。

当前第一名的答案

{
  "intensity": "269.279641",
  "lights": [
    [
      "0.231052956",
      "0.952237963"
    ],
    [
      "0.768947044",
      "0.952237963"
    ],
    [
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      "0.946247258"
    ],
    [
      "0.949852668",
      "0.946247258"
    ],
    [
      "0.413677313",
      "0.933827696"
    ],
    [
      "0.586322687",
      "0.933827696"
    ],
    [
      "0.045060381",
      "0.760929364"
    ],
    [
      "0.954939619",
      "0.760929364"
    ],
    [
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      "0.721218247"
    ],
    [
      "0.722545688",
      "0.721218247"
    ],
    [
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      "0.671537462"
    ],
    [
      "0.072632345",
      "0.581560786"
    ],
    [
      "0.927367655",
      "0.581560786"
    ],
    [
      "0.342042401",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.657957599",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.072632345",
      "0.418439214"
    ],
    [
      "0.927367655",
      "0.418439214"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.328462538"
    ],
    [
      "0.277454312",
      "0.278781753"
    ],
    [
      "0.722545688",
      "0.278781753"
    ],
    [
      "0.045060381",
      "0.239070636"
    ],
    [
      "0.954939619",
      "0.239070636"
    ],
    [
      "0.413677313",
      "0.066172304"
    ],
    [
      "0.586322687",
      "0.066172304"
    ],
    [
      "0.050147332",
      "0.053752742"
    ],
    [
      "0.949852668",
      "0.053752742"
    ],
    [
      "0.231052956",
      "0.047762037"
    ],
    [
      "0.768947044",
      "0.047762037"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 28
}

当前第一名的答案

{
  "intensity": "269.279641",
  "lights": [
    [
      "0.231052956",
      "0.952237963"
    ],
    [
      "0.768947044",
      "0.952237963"
    ],
    [
      "0.050147332",
      "0.946247258"
    ],
    [
      "0.949852668",
      "0.946247258"
    ],
    [
      "0.413677313",
      "0.933827696"
    ],
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      "0.933827696"
    ],
    [
      "0.045060381",
      "0.760929364"
    ],
    [
      "0.954939619",
      "0.760929364"
    ],
    [
      "0.277454312",
      "0.721218247"
    ],
    [
      "0.722545688",
      "0.721218247"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.671537462"
    ],
    [
      "0.072632345",
      "0.581560786"
    ],
    [
      "0.927367655",
      "0.581560786"
    ],
    [
      "0.342042401",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.657957599",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.072632345",
      "0.418439214"
    ],
    [
      "0.927367655",
      "0.418439214"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.328462538"
    ],
    [
      "0.277454312",
      "0.278781753"
    ],
    [
      "0.722545688",
      "0.278781753"
    ],
    [
      "0.045060381",
      "0.239070636"
    ],
    [
      "0.954939619",
      "0.239070636"
    ],
    [
      "0.413677313",
      "0.066172304"
    ],
    [
      "0.586322687",
      "0.066172304"
    ],
    [
      "0.050147332",
      "0.053752742"
    ],
    [
      "0.949852668",
      "0.053752742"
    ],
    [
      "0.231052956",
      "0.047762037"
    ],
    [
      "0.768947044",
      "0.047762037"
    ]
  ]
}

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复[证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复[证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复还在争！！！hadsajnc#1460 条回复