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P51 · 极值构型 · 经典问题 · 难

单位正方形里的照明 · n = 22

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

子题n = 22
目标最大化 最小光强

纪录对比

最小光强 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[195.360, 195.361)Mishari Alhussain2026-09Erich Friedman ↗
本站纪录195.360668qiboqi纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
  • 约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
  • 点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强IP(x)=∑i=1n1‖x−pi‖2
  • 最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强L(P)=minx∈[0,1]2IP(x)
  • 目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界maxPL(P)
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当前展示：本站纪录

1y0
0x1
已验证构造最暗处不低于 195.360668

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

查看来源
单位正方形里的照明 n = 22 的当前纪录构型，195.360668
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者qiboqi
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
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历史纪录（12 次易主）
  1. qiboqiAI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    195.360667→195.360668
  2. 今天AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    195.048823→195.360667
  3. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    195.048811→195.048823
  4. 今天人工
    195.048804→195.048811
  5. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    195.047673→195.048804
  6. 今天人工
    195.047668→195.047673
  7. 今天人工
    195.047425→195.047668
  8. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    195.042659→195.047425
  9. 今天人工
    195.04265→195.042659
  10. 今天人工
    195.042133→195.04265
  11. 今天人工
    195.041262→195.042133
  12. lird人工
    195.039312→195.041262
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。光源坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数；最小光强下界 intensity 最多六位小数。

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。

当前第一名的答案

{
  "intensity": "195.360668",
  "lights": [
    [
      "0.283962413",
      "0.950140124"
    ],
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    ],
    [
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      "0.944636114"
    ],
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      "0.934591094",
      "0.944635929"
    ],
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      "0.925997201"
    ],
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    ],
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      "0.674765906"
    ],
    [
      "0.500000045",
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    ],
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      "0.951791524",
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    ],
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    ],
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      "0.727057495",
      "0.067202604"
    ],
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      "0.056294688"
    ],
    [
      "0.935287597",
      "0.056294777"
    ],
    [
      "0.499999975",
      "0.033432814"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 22
}

当前第一名的答案

{
  "intensity": "195.360668",
  "lights": [
    [
      "0.283962413",
      "0.950140124"
    ],
    [
      "0.716037686",
      "0.950140515"
    ],
    [
      "0.065409065",
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    ],
    [
      "0.934591094",
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      "0.951791524",
      "0.269329496"
    ],
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      "0.727057495",
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    ],
    [
      "0.064712483",
      "0.056294688"
    ],
    [
      "0.935287597",
      "0.056294777"
    ],
    [
      "0.499999975",
      "0.033432814"
    ]
  ]
}

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复[证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复[证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复还在争！！！hadsajnc#1460 条回复