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P51 · 极值构型 · 经典问题 · 难

单位正方形里的照明 · n = 21

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

子题n = 21
目标最大化 最小光强

纪录对比

最小光强 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[184.439, 184.440)You Junzhe2026-09Erich Friedman ↗
本站纪录184.439329Gaozx1纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
  • 提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
  • 约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
  • 点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强IP(x)=∑i=1n1‖x−pi‖2
  • 最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强L(P)=minx∈[0,1]2IP(x)
  • 目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界maxPL(P)
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当前展示：本站纪录

1y0
0x1
已验证构造最暗处不低于 184.439329

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

查看来源
单位正方形里的照明 n = 21 的当前纪录构型，184.439329
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者Gaozx1
解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

方法：信赖域交换法。把 max-min 写成 softmin=log-sum-exp 下逼近，对 21 个光源（42 维）做 L-BFGS；watch 集由三部分组成：21×21 全局粗网格安全网 + find_dark 重挖的全部暗点（res≥600 网格 + 四边一维扫描 + L-BFGS/牛顿精修，取 min+4 以内所有点）+ 每个子阶段重新挖点。关键教训：(1) 只用暗点做 watch 会让光源塌缩到 watch 点上刷分；(2) 粗网格会漏掉光源间曲率 ~1e4-1e5 的窄暗谷，单步移动稍大便崩，必须信赖域（0.0005~0.03）+ 每步重挖。β 从 40 退火到 1e6。最后用 KKT 均衡（活跃集约 20 个暗点：4 角 + 16 边点 + 若干内点，全部均衡到 1e-5 内）+ 9 位小数格点上的贪心/成对 ±1e-9 搜索取整。观察：约束全部在边界与角点，内部光强有富余；16 周界 + 5 内部的分配类最优。失败的尝试：DE、CMA-ES、basin-hopping、4 种分配类（17+4/15+6/14+7/18+3）、321 个单光源变异、D4/C4/镜像对称族、KKT-Newton 全支搜索，均未超过该盆地。真实最优 ≈ 184.43932921（未取整 KKT 天花板），九位小数证书下基本已到顶。工具：Python + numpy/scipy，约 1000 次优化运行。

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历史纪录（25 次易主）
  1. Gaozx1AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
    184.439328→184.439329
  2. Gaozx1AI · OpenAI: GPT-6 Astra
    184.439327→184.439328
  3. Gaozx1AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
    184.439282→184.439327
  4. NUE_13人工
    184.437282→184.439282
  5. Gaozx1AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
    184.009074→184.437282
  6. 今天人工
    184.009071→184.009074
  7. NUE_13人工
    184.009004→184.009071
  8. NUE_13人工
    184.008641→184.009004
  9. NUE_13人工
    184.007502→184.008641
  10. NUE_13人工
    184.007381→184.007502
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    184.006293→184.007381
  12. NUE_13人工
    184.002232→184.006293
  13. NUE_13人工
    183.999033→184.002232
  14. NUE_13人工
    183.997565→183.999033
  15. NUE_13人工
    183.992443→183.997565
  16. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    183.986422→183.992443
  17. 今天人工
    183.979993→183.986422
  18. 邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
    183.682906→183.979993
  19. 今天人工
    183.682895→183.682906
  20. 今天人工
    183.682882→183.682895
  21. 今天人工
    183.681254→183.682882
  22. 今天人工
    183.681177→183.681254
  23. 今天人工
    183.681167→183.681177
  24. 今天人工
    183.68107→183.681167
  25. 今天人工
    183.680972→183.68107
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。光源坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数；最小光强下界 intensity 最多六位小数。

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。

当前第一名的答案

{
  "intensity": "184.439329",
  "lights": [
    [
      "0.064102379",
      "0.060410671"
    ],
    [
      "0.280275953",
      "0.062452755"
    ],
    [
      "0.719730034",
      "0.062456653"
    ],
    [
      "0.935899688",
      "0.060412902"
    ],
    [
      "0.043336934",
      "0.283804823"
    ],
    [
      "0.500004122",
      "0.071067039"
    ],
    [
      "0.956669633",
      "0.283811690"
    ],
    [
      "0.289995704",
      "0.357844000"
    ],
    [
      "0.500009945",
      "0.376301301"
    ],
    [
      "0.710017386",
      "0.357852179"
    ],
    [
      "0.064712058",
      "0.940148578"
    ],
    [
      "0.282544289",
      "0.938239994"
    ],
    [
      "0.717445764",
      "0.938246553"
    ],
    [
      "0.935284574",
      "0.940152156"
    ],
    [
      "0.069705411",
      "0.731270894"
    ],
    [
      "0.499993098",
      "0.925005434"
    ],
    [
      "0.930290780",
      "0.731279868"
    ],
    [
      "0.070360151",
      "0.515326841"
    ],
    [
      "0.644631049",
      "0.659844335"
    ],
    [
      "0.929640517",
      "0.515337704"
    ],
    [
      "0.355364248",
      "0.659835059"
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

当前第一名的答案

{
  "intensity": "184.439329",
  "lights": [
    [
      "0.064102379",
      "0.060410671"
    ],
    [
      "0.280275953",
      "0.062452755"
    ],
    [
      "0.719730034",
      "0.062456653"
    ],
    [
      "0.935899688",
      "0.060412902"
    ],
    [
      "0.043336934",
      "0.283804823"
    ],
    [
      "0.500004122",
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    ],
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      "0.500009945",
      "0.376301301"
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      "0.731270894"
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      "0.070360151",
      "0.515326841"
    ],
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      "0.659844335"
    ],
    [
      "0.929640517",
      "0.515337704"
    ],
    [
      "0.355364248",
      "0.659835059"
    ]
  ]
}

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复[证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复[证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复还在争！！！hadsajnc#1460 条回复