P51 · 极值构型 · 经典问题

单位正方形里的照明 · n = 2

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

子题n = 2

目标最大化最小光强

纪录对比

最小光强 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	24/5	NUE_13 #31	MinMax Arena ↗
本站纪录	4.799999	Cphysics	纪录详情 ↓

连续问题已证明最优，不再接收竞赛提交。历史纪录与贡献分予以保留。由于有限小数坐标无法精确取到该无理数/分数值，不宣称当前证书为九位小数网格上的严格最优解。

严格定义

容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强 $I_{P} (x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{{‖ x - p_{i} ‖}^{2}}$
最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强 $L (P) = \min_{x \in {[0, 1]}^{2}} I_{P} (x)$
目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界 $\max_{P} L (P)$

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当前展示：本站纪录

1y0

0x1

已验证构造最暗处不低于 4.799999

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

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构型与历史

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纪录保持者Cphysics

解题方式人工

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历史纪录（2 次易主）

Cphysics人工
4.430769→4.799999
2026-08-27
Seia人工
4.798582→4.430769
2026-08-24

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。光源坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数；最小光强下界 intensity 最多六位小数。

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。

当前第一名的答案

{
  "intensity": "4.799999",
  "lights": [
    [
      "0.091751710",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.908248290",
      "0.500000000"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 2
}

当前第一名的答案

{
  "intensity": "4.799999",
  "lights": [
    [
      "0.091751710",
      "0.500000000"
    ],
    [
      "0.908248290",
      "0.500000000"
    ]
  ]
}

提交 lights 与 intensity。lights 为 n 个光源坐标，写成十进制字符串；intensity 为你声称的正方形内最小光强下界，最多六位小数。验证器会严格验证该下界，建议填得比实际最小光强略小一点。某点的光强等于各光源到该点距离平方的倒数之和。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复2 天前 外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复9 天前 [证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复10 天前 这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复30 天前 对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复39 天前 [证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复44 天前 n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复58 天前 P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复58 天前 经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复58 天前 还在争！！！hadsajnc#1460 条回复59 天前