P64 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

最分离的子空间族 · d = 4, n = 9

文献中也称Grassmannian subspace packingpacking planes in Grassmannian spacechordal distance packing

在 Rᵈ 中选 n 个过原点的二维子空间（平面）。两个平面的弦距平方等于它们两个主夹角正弦值的平方和，也等于 2 − tr(PᵢPⱼ)（其中 Pᵢ、Pⱼ 是各自的正交投影矩阵）。让所有平面对中最小的弦距平方尽可能大。

子题d = 4, n = 9

目标最大化最小弦距平方

纪录对比

最小弦距平方 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[1.1230624449, 1.1230624450]	见来源署名	cohn.mit.edu ↗
本站纪录	1.123062444	zzzcy	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器d 维实空间 Rᵈ；答案是 Grassmann 流形 G(d, 2) 中的 n 个点，即 n 个过原点的二维平面
提交恰好 n 个子空间，每个 2 个基向量；基向量必须线性无关
投影矩阵Aᵢ 的两列是第 i 个子空间的两个基向量；Pᵢ 是与基的选择无关的正交投影矩阵 $P_{i} = A_{i} {({A_{i}}^{T} A_{i})}^{−1} {A_{i}}^{T}$
弦距平方两个二维子空间的弦距平方等于 2 减去投影矩阵乘积的迹 ${d_{c}}^{2} (i, j) = 2 - tr (P_{i} P_{j})$
分数δ(P) 是所有子空间对中最小的弦距平方；验证器通过 2×2 伴随矩阵用精确有理数构造投影矩阵 $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} {d_{c}}^{2} (i, j)$
计分纪录存为 floor(最小弦距平方 · 10¹⁸)；页面显示弦距平方，向下取整到第 9 位小数
目标在所有合法子空间族 P 中让 δ(P) 尽可能大 $\max_{P} δ (P)$

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当前展示：本站纪录

已验证构造9 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

它用在哪里

Fusion 框架把高维信号分别投影到多个低维子空间上。各个平面之间分得越开，系统对测量噪声和单个通道丢失的容忍度就越高，常用于分布式传感、并行信号处理和 MIMO 通信。

前沿在哪里

Sloane 的 Grassmannian 打包表按弦距记录了各参数下的已知最好结果，其中大部分来自数值搜索。本页子题避开了表中那些恰好取到简单有理数的刚性构形，专门挑了仍有改进空间的搜索前沿参数。

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构型与历史

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纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

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历史纪录（2 次易主）

zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
1.123062444→1.123062444
2026-10-06
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
1.123062444→1.123062444
2026-09-04

ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个子空间由 2 个线性无关的基向量给出，坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。张成同一平面的任何基代表同一个答案。

提交 subspaces：恰好 n 个子空间，每个是 2 个长度为 d 的基向量（十进制字符串，[-1, 1]）。基的选择不影响分数：同一个平面的任何基得同一个分。

当前第一名的答案

{
  "subspaces": [
    [
      [
        "0.364626698",
        "0.799013023",
        "-0.784828437",
        "-0.027043198"
      ],
      [
        "0.108107294",
        "0.049241775",
        "-0.862352034",
        "0.521978500"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.019841187",
        "0.295169800",
        "0.671372226",
        "0.025547890"
      ],
      [
        "0.167774959",
        "0.025463151",
        "-0.061969538",
        "0.012636622"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.246801361",
        "-0.308303267",
        "0.423577054",
        "-0.281546081"
      ],
      [
        "0.715629918",
        "-0.190994987",
        "0.082383606",
        "0.289321570"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.364419291",
        "-0.378272983",
        "0.357273947",
        "0.389079068"
      ],
      [
        "0.006459939",
        "-0.539493287",
        "0.104521242",
        "0.131459205"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.559326729",
        "0.315195632",
        "-0.423393922",
        "-0.753254360"
      ],
      [
        "0.243320990",
        "-0.500180326",
        "0.102306993",
        "0.628978564"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.253897330",
        "0.175342049",
        "-0.118362055",
        "0.989071058"
      ],
      [
        "0.236377204",
        "-0.754628183",
        "-0.612272600",
        "0.057854740"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.051995141",
        "-0.013622565",
        "0.315179162",
        "0.427782913"
      ],
      [
        "0.155812520",
        "0.017379779",
        "0.242566403",
        "-0.006647313"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.283052709",
        "-0.145455596",
        "-0.855807539",
        "-0.351755641"
      ],
      [
        "0.003562831",
        "0.321703374",
        "-0.760357234",
        "-0.122076839"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.322484799",
        "-0.625230383",
        "0.053265274",
        "-0.870890285"
      ],
      [
        "0.659328184",
        "0.808951727",
        "-0.141741208",
        "0.174989243"
      ]
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 9,
  "d": 4,
  "k": 2
}

当前第一名的答案

{
  "subspaces": [
    [
      [
        "0.364626698",
        "0.799013023",
        "-0.784828437",
        "-0.027043198"
      ],
      [
        "0.108107294",
        "0.049241775",
        "-0.862352034",
        "0.521978500"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.019841187",
        "0.295169800",
        "0.671372226",
        "0.025547890"
      ],
      [
        "0.167774959",
        "0.025463151",
        "-0.061969538",
        "0.012636622"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.246801361",
        "-0.308303267",
        "0.423577054",
        "-0.281546081"
      ],
      [
        "0.715629918",
        "-0.190994987",
        "0.082383606",
        "0.289321570"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.364419291",
        "-0.378272983",
        "0.357273947",
        "0.389079068"
      ],
      [
        "0.006459939",
        "-0.539493287",
        "0.104521242",
        "0.131459205"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.559326729",
        "0.315195632",
        "-0.423393922",
        "-0.753254360"
      ],
      [
        "0.243320990",
        "-0.500180326",
        "0.102306993",
        "0.628978564"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.253897330",
        "0.175342049",
        "-0.118362055",
        "0.989071058"
      ],
      [
        "0.236377204",
        "-0.754628183",
        "-0.612272600",
        "0.057854740"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.051995141",
        "-0.013622565",
        "0.315179162",
        "0.427782913"
      ],
      [
        "0.155812520",
        "0.017379779",
        "0.242566403",
        "-0.006647313"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.283052709",
        "-0.145455596",
        "-0.855807539",
        "-0.351755641"
      ],
      [
        "0.003562831",
        "0.321703374",
        "-0.760357234",
        "-0.122076839"
      ]
    ],
    [
      [
        "0.322484799",
        "-0.625230383",
        "0.053265274",
        "-0.870890285"
      ],
      [
        "0.659328184",
        "0.808951727",
        "-0.141741208",
        "0.174989243"
      ]
    ]
  ]
}

提交 subspaces：恰好 n 个子空间，每个是 2 个长度为 d 的基向量（十进制字符串，[-1, 1]）。基的选择不影响分数：同一个平面的任何基得同一个分。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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