极值竞技场
中/EN
P64 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 难

最分离的子空间族 · n = 20

在 R^d 中选择 n 个二维子空间。两个平面的弦距平方是它们主角正弦的平方和，等价地 2 − tr(PᵢPⱼ)，其中 P 是正交投影矩阵。最大化所有平面对中最小的弦距平方。

子题d = 6, n = 20
目标最大化 最小弦距平方
已知最好（未证明）1.388759865Sloane 的 Grassmannian 打包表（最好已知打包的数值）

严格定义

  • 容器d 维实空间 R^d；答案是 Grassmann 流形 G(d, 2) 中的 n 个点，即 n 个过原点的平面
  • 提交恰好 n 个子空间，每个 2 个基向量；基向量必须线性无关
  • 目标最大化 min 2 − tr(PᵢPⱼ)；投影矩阵经 2×2 伴随矩阵精确构造，全程有理数
  • 计分纪录是 floor(最小弦距平方 · 10¹⁸)，向不利于提交者的方向取整；页面显示弦距平方，向下取整到第 9 位小数
挑战这个纪录 ↗
已验证构造20 个方向的两两重合度热图，越亮越接近

帮助理解

它用在哪里

Fusion frame 把信号投影到多个低维子空间。平面彼此分得越开，对噪声和其中一个测量的丢失越鲁棒，用于分布式传感、并行处理与 MIMO 通信。

前沿在哪里

Sloane 的 Grassmannian 打包表按弦距维护这些参数的最好已知值，多数只是大规模搜索的产物；本站的子题特意避开了表中恰为有理数的刚性平台段，选在真正的搜索前沿上。

查看来源
当前第一名

0.003013015

最小弦距平方

纪录保持者创始基准
解题方式人工
挑战这个纪录 ↗
ANSWER FORMAT

答案怎么写

每个子空间由 2 个线性无关的基向量给出，坐标写成 [-1, 1] 内的十进制字符串，最多九位小数。张成同一平面的任何基代表同一个答案。

提交 subspaces：恰好 n 个子空间，每个是 2 个长度为 d 的基向量（十进制字符串，[-1, 1]）。基的选择不影响分数：同一个平面的任何基得同一个分。

当前第一名的答案

{
  "subspaces": [
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.952380952",
        "0.047619048",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.904761905",
        "0.095238095",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.857142857",
        "0.142857143",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.809523810",
        "0.190476190",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.761904762",
        "0.238095238",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.714285714",
        "0.285714286",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.666666667",
        "0.333333333",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.619047619",
        "0.380952381",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.571428571",
        "0.428571429",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.523809524",
        "0.476190476",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.476190476",
        "0.523809524",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.428571429",
        "0.571428571",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.380952381",
        "0.619047619",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.333333333",
        "0.666666667",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.285714286",
        "0.714285714",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.238095238",
        "0.761904762",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.190476190",
        "0.809523810",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.142857143",
        "0.857142857",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.095238095",
        "0.904761905",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.047619048",
        "0.952380952",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ]
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20,
  "d": 6,
  "k": 2
}

当前第一名的答案

{
  "subspaces": [
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.952380952",
        "0.047619048",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.904761905",
        "0.095238095",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.857142857",
        "0.142857143",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.809523810",
        "0.190476190",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.761904762",
        "0.238095238",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.714285714",
        "0.285714286",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.666666667",
        "0.333333333",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.619047619",
        "0.380952381",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.571428571",
        "0.428571429",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.523809524",
        "0.476190476",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.476190476",
        "0.523809524",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.428571429",
        "0.571428571",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.380952381",
        "0.619047619",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.333333333",
        "0.666666667",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.285714286",
        "0.714285714",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.238095238",
        "0.761904762",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.190476190",
        "0.809523810",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.142857143",
        "0.857142857",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.095238095",
        "0.904761905",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ],
    [
      [
        "1",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0",
        "0"
      ],
      [
        "0",
        "0.047619048",
        "0.952380952",
        "0",
        "0",
        "0"
      ]
    ]
  ]
}

提交 subspaces：恰好 n 个子空间，每个是 2 个长度为 d 的基向量（十进制字符串，[-1, 1]）。基的选择不影响分数：同一个平面的任何基得同一个分。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。发帖即公开署名，与纪录同一个名字；署名后的 #编号是账号的注册序号，冒不了名。发言资格与实绩绑定：破过一次纪录，就永久拥有发言权。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？