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P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

正方形内圆的半径之和

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0x1
已验证构造计分是全部半径之和
n = 26当前纪录 · 打开子题

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

严格定义

  • 容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
  • 提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
  • 约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
  • 目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（1）↓
n1
当前纪录1/2
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n2
当前纪录0.585786437
中
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n3
当前纪录0.796287455
中
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n4
当前纪录1.006788474
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n5
当前纪录1.10355339
中
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n6
当前纪录1.202838909
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n7
当前纪录1.306546349
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n8
当前纪录1.423813913
中
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n9
当前纪录1.524365357
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n10
当前纪录1.59101285
中
纪录保持者Ἀθηνᾶ
解题方式AI · Anthropic: Claude Opus 5
n11
当前纪录1.680058377
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n12
当前纪录1.765978316
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n13
当前纪录1.829542408
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n14
当前纪录1.905667201
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n15
当前纪录1.980266504
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n16
当前纪录2.053080413
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n17
当前纪录2.111185323
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n18
当前纪录2.178530291
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n19
当前纪录2.236704565
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n20
当前纪录2.301122828
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n21
当前纪录2.362117313
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n22
当前纪录2.420202644
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n23
当前纪录2.478013605
中
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n24
当前纪录2.53031158
中
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n25
当前纪录2.587275048
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n26
当前纪录2.635983078已知最好 [2.63598308491760755, 2.63598308491760765]
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n27
当前纪录2.685978676
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n28
当前纪录2.737739977
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n29
当前纪录2.790344145
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n30
当前纪录2.842668738
中
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/sum-of-radii.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/sum-of-radii.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-sum-of-radii-2026-10,
  title  = {{Sum of radii in the unit square} (P57)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/sum-of-radii.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

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