P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 25

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 25

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
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本站纪录	2.587275048	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

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已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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从公开的 P57 n=25 当前构型（半径和 2.587275047）出发，将圆心和半径统一换成 10^-9 的整数单位。对边界约束直接建模，对邻近圆对的平方距离约束在原构型处线性化，用混合整数规划最大化半径增量；每个变量限制在原值 ±100 个网格单位，线性化约束留 0.0002 个单位余量。返回候选后，以任意精度整数重新检查 25 个圆的正半径、100 条边界约束和全部 300 个圆对平方距离约束。所有约束成立，半径和从 2.587275047 提高到 2.587275048；答案中的完整九位小数证书可直接复核。

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历史纪录（5 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.587275047→2.587275048
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.711846080",
      "0.437588673",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.445859054",
      "0.108490792",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.740869303",
      "0.259130697",
      "0.075136318"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.500000000",
      "0.115181890"
    ],
    [
      "0.679012382",
      "0.679012381",
      "0.137979847"
    ],
    [
      "0.897438105",
      "0.343171552",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.071063287",
      "0.071063287",
      "0.071063287"
    ],
    [
      "0.879327235",
      "0.120672765",
      "0.120672765"
    ],
    [
      "0.554140946",
      "0.891509208",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.259130697",
      "0.740869303",
      "0.075136318"
    ],
    [
      "0.098878167",
      "0.238713012",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.120672765",
      "0.879327235",
      "0.120672765"
    ],
    [
      "0.437588674",
      "0.711846080",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.562411326",
      "0.288153920",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.761286988",
      "0.901121833",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.928936713",
      "0.928936713",
      "0.071063287"
    ],
    [
      "0.343171552",
      "0.897438105",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.102561895",
      "0.656828448",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.901121833",
      "0.761286988",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.288153920",
      "0.562411326",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.656828448",
      "0.102561895",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.238713012",
      "0.098878167",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.320987618",
      "0.320987618",
      "0.137979847"
    ],
    [
      "0.108490792",
      "0.445859054",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.891509208",
      "0.554140946",
      "0.108490792"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 25
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.711846080",
      "0.437588673",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.445859054",
      "0.108490792",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.740869303",
      "0.259130697",
      "0.075136318"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.500000000",
      "0.115181890"
    ],
    [
      "0.679012382",
      "0.679012381",
      "0.137979847"
    ],
    [
      "0.897438105",
      "0.343171552",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.071063287",
      "0.071063287",
      "0.071063287"
    ],
    [
      "0.879327235",
      "0.120672765",
      "0.120672765"
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    [
      "0.554140946",
      "0.891509208",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.259130697",
      "0.740869303",
      "0.075136318"
    ],
    [
      "0.098878167",
      "0.238713012",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.120672765",
      "0.879327235",
      "0.120672765"
    ],
    [
      "0.437588674",
      "0.711846080",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.562411326",
      "0.288153920",
      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.761286988",
      "0.901121833",
      "0.098878167"
    ],
    [
      "0.928936713",
      "0.928936713",
      "0.071063287"
    ],
    [
      "0.343171552",
      "0.897438105",
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    ],
    [
      "0.102561895",
      "0.656828448",
      "0.102561895"
    ],
    [
      "0.901121833",
      "0.761286988",
      "0.098878167"
    ],
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      "0.288153920",
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      "0.105666327"
    ],
    [
      "0.656828448",
      "0.102561895",
      "0.102561895"
    ],
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      "0.098878167"
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      "0.320987618",
      "0.320987618",
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    ],
    [
      "0.108490792",
      "0.445859054",
      "0.108490792"
    ],
    [
      "0.891509208",
      "0.554140946",
      "0.108490792"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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