P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 21

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 21

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	2.362117313	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

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已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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从公开的 P57 n=21 构型（半径和 2.362117312）出发，在 10^-9 整数网格上联合调整 21 个圆的圆心和半径。对正方形边界直接建模，对邻近圆对的平方距离做一阶线性化，并用混合整数规划最大化半径总和；变量限制在原值附近的整数窗口并保留安全余量。候选生成后，以任意精度整数重新检查 21 个正半径、84 条边界约束和全部 210 个圆对平方距离约束；全部成立，半径和提高为 2.362117313。提交的完整九位小数证书可直接复核。

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历史纪录（5 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.362117312→2.362117313
2026-09-16
邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
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2026-09-01
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1.68→2.343
2026-08-29

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.875821877",
      "0.875821877",
      "0.124178123"
    ],
    [
      "0.151757940",
      "0.848242060",
      "0.151757940"
    ],
    [
      "0.124178123",
      "0.124178123",
      "0.124178123"
    ],
    [
      "0.265780821",
      "0.265780820",
      "0.076078332"
    ],
    [
      "0.500000000",
      "0.500000000",
      "0.107782651"
    ],
    [
      "0.646151836",
      "0.893805112",
      "0.106194888"
    ],
    [
      "0.106194888",
      "0.353848164",
      "0.106194888"
    ],
    [
      "0.341426583",
      "0.658573417",
      "0.116474025"
    ],
    [
      "0.556983900",
      "0.703724456",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.296275544",
      "0.443016100",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.703724456",
      "0.556983899",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.119383326",
      "0.579040517",
      "0.119383326"
    ],
    [
      "0.734219180",
      "0.734219179",
      "0.076078332"
    ],
    [
      "0.353848165",
      "0.106194888",
      "0.106194888"
    ],
    [
      "0.579040517",
      "0.119383326",
      "0.119383325"
    ],
    [
      "0.658573418",
      "0.341426582",
      "0.116474025"
    ],
    [
      "0.848242060",
      "0.151757940",
      "0.151757940"
    ],
    [
      "0.880616674",
      "0.420959484",
      "0.119383326"
    ],
    [
      "0.443016101",
      "0.296275544",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.893805112",
      "0.646151837",
      "0.106194887"
    ],
    [
      "0.420959483",
      "0.880616674",
      "0.119383326"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.875821877",
      "0.875821877",
      "0.124178123"
    ],
    [
      "0.151757940",
      "0.848242060",
      "0.151757940"
    ],
    [
      "0.124178123",
      "0.124178123",
      "0.124178123"
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    ],
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      "0.646151836",
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      "0.106194888"
    ],
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      "0.106194888",
      "0.353848164",
      "0.106194888"
    ],
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      "0.341426583",
      "0.658573417",
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      "0.703724456",
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    ],
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      "0.296275544",
      "0.443016100",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.703724456",
      "0.556983899",
      "0.103761242"
    ],
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      "0.119383326",
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      "0.734219180",
      "0.734219179",
      "0.076078332"
    ],
    [
      "0.353848165",
      "0.106194888",
      "0.106194888"
    ],
    [
      "0.579040517",
      "0.119383326",
      "0.119383325"
    ],
    [
      "0.658573418",
      "0.341426582",
      "0.116474025"
    ],
    [
      "0.848242060",
      "0.151757940",
      "0.151757940"
    ],
    [
      "0.880616674",
      "0.420959484",
      "0.119383326"
    ],
    [
      "0.443016101",
      "0.296275544",
      "0.103761242"
    ],
    [
      "0.893805112",
      "0.646151837",
      "0.106194887"
    ],
    [
      "0.420959483",
      "0.880616674",
      "0.119383326"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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