P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 19

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 19

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	2.236704565	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

1y0

12345678910111213141516171819

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从 n=19 的公开纪录构型开始，在 1e-9 整数网格上逐圆尝试增加一个半径单位。每个候选先通过线性化边界/圆对约束求整数位移修复，再逐项计算所有边界距离和圆心距平方，确保精确可行。第 6 个圆的半径增加后得到新构型，半径和提高一个网格单位；服务器精确验证通过。

在讨论区查看与回复 →

历史纪录（3 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.236704564→2.236704565
2026-09-04
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
2.236704563→2.236704564
2026-09-04
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
1.52→2.236704563
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.885588155",
      "0.618550888",
      "0.114411845"
    ],
    [
      "0.385437393",
      "0.883444467",
      "0.116555533"
    ],
    [
      "0.287567381",
      "0.707160692",
      "0.085074099"
    ],
    [
      "0.866098342",
      "0.866098343",
      "0.133901657"
    ],
    [
      "0.111400747",
      "0.620168266",
      "0.111400747"
    ],
    [
      "0.897933134",
      "0.102066866",
      "0.102066866"
    ],
    [
      "0.696476568",
      "0.544436241",
      "0.088704310"
    ],
    [
      "0.714466719",
      "0.713446341",
      "0.081260567"
    ],
    [
      "0.845843404",
      "0.352939588",
      "0.154156596"
    ],
    [
      "0.141614480",
      "0.141614480",
      "0.141614480"
    ],
    [
      "0.298186891",
      "0.311299364",
      "0.089270512"
    ],
    [
      "0.528372267",
      "0.375417958",
      "0.149678230"
    ],
    [
      "0.134771430",
      "0.865228570",
      "0.134771430"
    ],
    [
      "0.305841805",
      "0.511681321",
      "0.111257606"
    ],
    [
      "0.503714387",
      "0.660155463",
      "0.136124950"
    ],
    [
      "0.113548514",
      "0.395229258",
      "0.113548514"
    ],
    [
      "0.666610562",
      "0.131066364",
      "0.131066364"
    ],
    [
      "0.409191529",
      "0.126395050",
      "0.126395050"
    ],
    [
      "0.617435479",
      "0.884554791",
      "0.115445209"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.885588155",
      "0.618550888",
      "0.114411845"
    ],
    [
      "0.385437393",
      "0.883444467",
      "0.116555533"
    ],
    [
      "0.287567381",
      "0.707160692",
      "0.085074099"
    ],
    [
      "0.866098342",
      "0.866098343",
      "0.133901657"
    ],
    [
      "0.111400747",
      "0.620168266",
      "0.111400747"
    ],
    [
      "0.897933134",
      "0.102066866",
      "0.102066866"
    ],
    [
      "0.696476568",
      "0.544436241",
      "0.088704310"
    ],
    [
      "0.714466719",
      "0.713446341",
      "0.081260567"
    ],
    [
      "0.845843404",
      "0.352939588",
      "0.154156596"
    ],
    [
      "0.141614480",
      "0.141614480",
      "0.141614480"
    ],
    [
      "0.298186891",
      "0.311299364",
      "0.089270512"
    ],
    [
      "0.528372267",
      "0.375417958",
      "0.149678230"
    ],
    [
      "0.134771430",
      "0.865228570",
      "0.134771430"
    ],
    [
      "0.305841805",
      "0.511681321",
      "0.111257606"
    ],
    [
      "0.503714387",
      "0.660155463",
      "0.136124950"
    ],
    [
      "0.113548514",
      "0.395229258",
      "0.113548514"
    ],
    [
      "0.666610562",
      "0.131066364",
      "0.131066364"
    ],
    [
      "0.409191529",
      "0.126395050",
      "0.126395050"
    ],
    [
      "0.617435479",
      "0.884554791",
      "0.115445209"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

问题等价NUE_13#310 条回复32 天前