P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 16

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 16

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
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本站纪录	2.053080413	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

1y0

12345678910111213141516

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3

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历史纪录（4 次易主）

邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
2.053080412→2.053080413
2026-09-04
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
2.053080411→2.053080412
2026-09-01
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
1.63718338→2.053080411
2026-08-27
lird人工
1.6→1.63718338
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.681488268",
      "0.131931879",
      "0.131931879"
    ],
    [
      "0.868068121",
      "0.318511732",
      "0.131931879"
    ],
    [
      "0.378702952",
      "0.173724025",
      "0.173724024"
    ],
    [
      "0.41050373",
      "0.877461627",
      "0.122538372"
    ],
    [
      "0.106571022",
      "0.106571022",
      "0.106571022"
    ],
    [
      "0.526249827",
      "0.655043987",
      "0.128194086"
    ],
    [
      "0.905181161",
      "0.094818839",
      "0.094818839"
    ],
    [
      "0.826275975",
      "0.621297048",
      "0.173724024"
    ],
    [
      "0.127395843",
      "0.339609261",
      "0.127395843"
    ],
    [
      "0.310448005",
      "0.689551993",
      "0.090349339"
    ],
    [
      "0.122538372",
      "0.58949627",
      "0.122538372"
    ],
    [
      "0.893428978",
      "0.893428978",
      "0.106571022"
    ],
    [
      "0.344956013",
      "0.473750172",
      "0.128194085"
    ],
    [
      "0.660390739",
      "0.872604157",
      "0.127395843"
    ],
    [
      "0.144432309",
      "0.855567691",
      "0.144432309"
    ],
    [
      "0.60440388",
      "0.395596119",
      "0.142769475"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.681488268",
      "0.131931879",
      "0.131931879"
    ],
    [
      "0.868068121",
      "0.318511732",
      "0.131931879"
    ],
    [
      "0.378702952",
      "0.173724025",
      "0.173724024"
    ],
    [
      "0.41050373",
      "0.877461627",
      "0.122538372"
    ],
    [
      "0.106571022",
      "0.106571022",
      "0.106571022"
    ],
    [
      "0.526249827",
      "0.655043987",
      "0.128194086"
    ],
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      "0.905181161",
      "0.094818839",
      "0.094818839"
    ],
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      "0.826275975",
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    ],
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      "0.339609261",
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      "0.310448005",
      "0.689551993",
      "0.090349339"
    ],
    [
      "0.122538372",
      "0.58949627",
      "0.122538372"
    ],
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      "0.893428978",
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      "0.344956013",
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    [
      "0.660390739",
      "0.872604157",
      "0.127395843"
    ],
    [
      "0.144432309",
      "0.855567691",
      "0.144432309"
    ],
    [
      "0.60440388",
      "0.395596119",
      "0.142769475"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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问题等价NUE_13#310 条回复32 天前