P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 20

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 20

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	2.301122828	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

1y0

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0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从公开纪录的 n=20 构型开始，在 1e-9 整数网格上逐圆尝试半径增加一个单位。对每个候选，用线性化的边界和圆对约束求整数圆心位移，并在修复后逐项计算所有整数平方距离。第 2 个圆增加一个网格单位后仍保持全部约束可行，半径和严格提升 1 个单位；服务器精确验证通过。

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历史纪录（5 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.301122827→2.301122828
2026-09-04
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
2.301122826→2.301122827
2026-09-04
邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.291394385",
      "0.294626723",
      "0.085672268"
    ],
    [
      "0.620761538",
      "0.115462992",
      "0.115462992"
    ],
    [
      "0.136159870",
      "0.136159870",
      "0.136159870"
    ],
    [
      "0.119044079",
      "0.617671204",
      "0.119044079"
    ],
    [
      "0.719226220",
      "0.287758021",
      "0.082983148"
    ],
    [
      "0.313150238",
      "0.491542485",
      "0.112441675"
    ],
    [
      "0.851586642",
      "0.851586642",
      "0.148413358"
    ],
    [
      "0.339223776",
      "0.918396996",
      "0.081603004"
    ],
    [
      "0.557380416",
      "0.854195566",
      "0.145804434"
    ],
    [
      "0.388442670",
      "0.116860076",
      "0.116860076"
    ],
    [
      "0.704545454",
      "0.475066520",
      "0.104899790"
    ],
    [
      "0.113690673",
      "0.384998030",
      "0.113690673"
    ],
    [
      "0.891400101",
      "0.371783129",
      "0.108599899"
    ],
    [
      "0.517421825",
      "0.585741255",
      "0.112503405"
    ],
    [
      "0.700758479",
      "0.668629019",
      "0.088699750"
    ],
    [
      "0.887355372",
      "0.592990681",
      "0.112644628"
    ],
    [
      "0.331540989",
      "0.720094098",
      "0.116848663"
    ],
    [
      "0.867830157",
      "0.132169843",
      "0.132169843"
    ],
    [
      "0.507449200",
      "0.338622467",
      "0.134816526"
    ],
    [
      "0.131804747",
      "0.868195253",
      "0.131804747"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.291394385",
      "0.294626723",
      "0.085672268"
    ],
    [
      "0.620761538",
      "0.115462992",
      "0.115462992"
    ],
    [
      "0.136159870",
      "0.136159870",
      "0.136159870"
    ],
    [
      "0.119044079",
      "0.617671204",
      "0.119044079"
    ],
    [
      "0.719226220",
      "0.287758021",
      "0.082983148"
    ],
    [
      "0.313150238",
      "0.491542485",
      "0.112441675"
    ],
    [
      "0.851586642",
      "0.851586642",
      "0.148413358"
    ],
    [
      "0.339223776",
      "0.918396996",
      "0.081603004"
    ],
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      "0.557380416",
      "0.854195566",
      "0.145804434"
    ],
    [
      "0.388442670",
      "0.116860076",
      "0.116860076"
    ],
    [
      "0.704545454",
      "0.475066520",
      "0.104899790"
    ],
    [
      "0.113690673",
      "0.384998030",
      "0.113690673"
    ],
    [
      "0.891400101",
      "0.371783129",
      "0.108599899"
    ],
    [
      "0.517421825",
      "0.585741255",
      "0.112503405"
    ],
    [
      "0.700758479",
      "0.668629019",
      "0.088699750"
    ],
    [
      "0.887355372",
      "0.592990681",
      "0.112644628"
    ],
    [
      "0.331540989",
      "0.720094098",
      "0.116848663"
    ],
    [
      "0.867830157",
      "0.132169843",
      "0.132169843"
    ],
    [
      "0.507449200",
      "0.338622467",
      "0.134816526"
    ],
    [
      "0.131804747",
      "0.868195253",
      "0.131804747"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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