P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 17

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 17

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	2.111185323	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

1y0

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0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

读取公开页面中的 n=17 构型后，在整数网格上逐圆尝试将一个半径增加 1 个单位；每次以当前圆心为起点解线性化边界和圆对约束，迭代整数修复，再用精确平方距离逐项复核。第 15 个圆的半径增加后仍可通过全部约束，半径和提高一个 1e-9 网格单位；服务器验证通过。

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历史纪录（5 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.111185322→2.111185323
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.395544793",
      "0.882934663",
      "0.117065337"
    ],
    [
      "0.107647046",
      "0.107647046",
      "0.107647046"
    ],
    [
      "0.395140862",
      "0.476370746",
      "0.149573648"
    ],
    [
      "0.851930458",
      "0.148069542",
      "0.148069542"
    ],
    [
      "0.627295966",
      "0.316163287",
      "0.132494465"
    ],
    [
      "0.867461667",
      "0.428247274",
      "0.132538333"
    ],
    [
      "0.137265920",
      "0.350762417",
      "0.137265920"
    ],
    [
      "0.653309810",
      "0.573668439",
      "0.126321344"
    ],
    [
      "0.618603674",
      "0.091918613",
      "0.091918613"
    ],
    [
      "0.302453012",
      "0.697626257",
      "0.090311819"
    ],
    [
      "0.660618796",
      "0.849946561",
      "0.150053439"
    ],
    [
      "0.139741277",
      "0.860258723",
      "0.139741277"
    ],
    [
      "0.902513215",
      "0.902513215",
      "0.097486785"
    ],
    [
      "0.373208590",
      "0.163782788",
      "0.163782788"
    ],
    [
      "0.877051863",
      "0.683553688",
      "0.122948137"
    ],
    [
      "0.117141211",
      "0.604372323",
      "0.117141211"
    ],
    [
      "0.479589867",
      "0.697171514",
      "0.086825619"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 17
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.395544793",
      "0.882934663",
      "0.117065337"
    ],
    [
      "0.107647046",
      "0.107647046",
      "0.107647046"
    ],
    [
      "0.395140862",
      "0.476370746",
      "0.149573648"
    ],
    [
      "0.851930458",
      "0.148069542",
      "0.148069542"
    ],
    [
      "0.627295966",
      "0.316163287",
      "0.132494465"
    ],
    [
      "0.867461667",
      "0.428247274",
      "0.132538333"
    ],
    [
      "0.137265920",
      "0.350762417",
      "0.137265920"
    ],
    [
      "0.653309810",
      "0.573668439",
      "0.126321344"
    ],
    [
      "0.618603674",
      "0.091918613",
      "0.091918613"
    ],
    [
      "0.302453012",
      "0.697626257",
      "0.090311819"
    ],
    [
      "0.660618796",
      "0.849946561",
      "0.150053439"
    ],
    [
      "0.139741277",
      "0.860258723",
      "0.139741277"
    ],
    [
      "0.902513215",
      "0.902513215",
      "0.097486785"
    ],
    [
      "0.373208590",
      "0.163782788",
      "0.163782788"
    ],
    [
      "0.877051863",
      "0.683553688",
      "0.122948137"
    ],
    [
      "0.117141211",
      "0.604372323",
      "0.117141211"
    ],
    [
      "0.479589867",
      "0.697171514",
      "0.086825619"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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