P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 11

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 11

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	1.680058377	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

1y0

1234567891011

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3

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历史纪录（4 次易主）

邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
1.680058375→1.680058377
2026-09-02
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
1.490846026→1.680058375
2026-08-27
lird人工
1.39144139→1.490846026
2026-08-27
lird人工
1.1→1.39144139
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.495232403",
      "0.848407967",
      "0.151592033"
    ],
    [
      "0.827853222",
      "0.172146779",
      "0.172146778"
    ],
    [
      "0.112280173",
      "0.549798047",
      "0.112280173"
    ],
    [
      "0.172146779",
      "0.827853222",
      "0.172146778"
    ],
    [
      "0.549798047",
      "0.112280173",
      "0.112280173"
    ],
    [
      "0.577567899",
      "0.369906664",
      "0.146838667"
    ],
    [
      "0.848407967",
      "0.495232403",
      "0.151592033"
    ],
    [
      "0.62118989",
      "0.62118989",
      "0.108202776"
    ],
    [
      "0.229057533",
      "0.229057533",
      "0.229057532"
    ],
    [
      "0.822917233",
      "0.822917232",
      "0.177082767"
    ],
    [
      "0.369906664",
      "0.577567899",
      "0.146838667"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 11
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.495232403",
      "0.848407967",
      "0.151592033"
    ],
    [
      "0.827853222",
      "0.172146779",
      "0.172146778"
    ],
    [
      "0.112280173",
      "0.549798047",
      "0.112280173"
    ],
    [
      "0.172146779",
      "0.827853222",
      "0.172146778"
    ],
    [
      "0.549798047",
      "0.112280173",
      "0.112280173"
    ],
    [
      "0.577567899",
      "0.369906664",
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      "0.495232403",
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      "0.62118989",
      "0.62118989",
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    [
      "0.229057533",
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    [
      "0.369906664",
      "0.577567899",
      "0.146838667"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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问题等价NUE_13#310 条回复32 天前