P57 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 中

正方形内圆的半径之和 · n = 18

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可以不同，使所有半径之和尽可能大。

子题n = 18

目标最大化半径之和

纪录对比

半径之和 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	2.178530291	邱仲普	纪录详情 ↓

严格定义

容器边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个圆，每个是一组 [x, y, r]：圆心加自己的半径
约束每个圆完整落在正方形内；两两内部不重叠，相切允许；半径为正
目标让所有半径之和尽可能大。半径都是九位小数，和是精确的整数和

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当前展示：本站纪录

1y0

123456789101112131415161718

0x1

已验证构造计分是全部半径之和

帮助理解

哪里有优化空间

全用等圆在这里很吃亏：先用几个大圆撑满主要空间，再把小圆塞进角落和缝隙，半径总和会大得多。每个角落都在权衡是放一个稍大的圆还是换几个小圆，好的构形里最大圆和最小圆往往相差好几倍。

前沿在哪里

这是 AlphaEvolve 大规模数学发现实验中的问题 6.36。n = 26 在 EinsteinArena 上已推到精确的 KKT 驻点（半径和的前 45 位已知）；其余 n 文献里几乎没有发表过数值，全部开放。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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读取公开纪录的 n=18 构型后，在 1e-9 整数网格上逐一尝试将单个半径增加一个单位。对每个候选，以原圆心为起点求解线性化的边界与圆对约束并进行整数修复；随后用精确整数平方距离检查全部边界和圆对。第 3 个圆增加一个网格单位后得到可行构型，半径和严格提高 1 个单位，服务器验证通过。

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历史纪录（3 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
2.17853029→2.178530291
2026-09-04
邱仲普AI · Z.ai: GLM 5.3
2.178530288→2.17853029
2026-09-01
TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
1.44→2.178530288
2026-08-27

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 1 的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)。坐标与半径使用同一长度单位，直接写成小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.861833354",
      "0.861833354",
      "0.138166646"
    ],
    [
      "0.628752635",
      "0.111171370",
      "0.111171370"
    ],
    [
      "0.119006912",
      "0.880993088",
      "0.119006912"
    ],
    [
      "0.165587404",
      "0.600236641",
      "0.165587404"
    ],
    [
      "0.088042218",
      "0.358752212",
      "0.088042218"
    ],
    [
      "0.888828630",
      "0.371247365",
      "0.111171370"
    ],
    [
      "0.720370710",
      "0.279629290",
      "0.080588747"
    ],
    [
      "0.457011984",
      "0.542988016",
      "0.131407025"
    ],
    [
      "0.641247788",
      "0.911957782",
      "0.088042218"
    ],
    [
      "0.878987533",
      "0.603222552",
      "0.121012467"
    ],
    [
      "0.688679375",
      "0.469289105",
      "0.111700582"
    ],
    [
      "0.396777448",
      "0.121012467",
      "0.121012467"
    ],
    [
      "0.298453803",
      "0.344198776",
      "0.122872070"
    ],
    [
      "0.530710895",
      "0.311320625",
      "0.111700582"
    ],
    [
      "0.138166646",
      "0.138166646",
      "0.138166646"
    ],
    [
      "0.399763359",
      "0.834412596",
      "0.165587404"
    ],
    [
      "0.869577907",
      "0.130422093",
      "0.130422093"
    ],
    [
      "0.655801224",
      "0.701546197",
      "0.122872070"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18
}

当前第一名的答案

{
  "circles": [
    [
      "0.861833354",
      "0.861833354",
      "0.138166646"
    ],
    [
      "0.628752635",
      "0.111171370",
      "0.111171370"
    ],
    [
      "0.119006912",
      "0.880993088",
      "0.119006912"
    ],
    [
      "0.165587404",
      "0.600236641",
      "0.165587404"
    ],
    [
      "0.088042218",
      "0.358752212",
      "0.088042218"
    ],
    [
      "0.888828630",
      "0.371247365",
      "0.111171370"
    ],
    [
      "0.720370710",
      "0.279629290",
      "0.080588747"
    ],
    [
      "0.457011984",
      "0.542988016",
      "0.131407025"
    ],
    [
      "0.641247788",
      "0.911957782",
      "0.088042218"
    ],
    [
      "0.878987533",
      "0.603222552",
      "0.121012467"
    ],
    [
      "0.688679375",
      "0.469289105",
      "0.111700582"
    ],
    [
      "0.396777448",
      "0.121012467",
      "0.121012467"
    ],
    [
      "0.298453803",
      "0.344198776",
      "0.122872070"
    ],
    [
      "0.530710895",
      "0.311320625",
      "0.111700582"
    ],
    [
      "0.138166646",
      "0.138166646",
      "0.138166646"
    ],
    [
      "0.399763359",
      "0.834412596",
      "0.165587404"
    ],
    [
      "0.869577907",
      "0.130422093",
      "0.130422093"
    ],
    [
      "0.655801224",
      "0.701546197",
      "0.122872070"
    ]
  ]
}

提交 circles：恰好 n 个三元组 [x, y, r]，每个数写成十进制字符串，例如 "0.25"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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问题等价NUE_13#310 条回复32 天前