P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 16

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径 1 的圆内放 n 个可任意旋转的正方形，边长完全相同、互不重叠，使共同边长尽可能大。

子题n = 16

目标最大化最小边长

已知最好（未证明）40√11009/11009文献换算值 0.38122911本站展示证书 0.38122907论文原值（单位正方形边长下的容器半径）：√11009 / 40 = 2.623+r = √11009 / 40，连续分数为 1600/11009；Erich Friedman 于 1997 年给出。本站从公开图数字化各正方形的位置与方向，按图中的分离轴解出该固定接触结构并向内修复到九位定点网格，证书分数为 0.14533560407192656；最优性未知提交只收小数，所以纪录追的是这个可写值；如果你认为自己求出了理论最优的闭式，欢迎邮件投稿。 minmaxarena.com@gmail.com

严格定义

容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
提交每个正方形写 {cx, cy, ux, uy}：中心加一条半边向量，另一条固定取 (−uy, ux)
约束每个正方形的角度完全自由；全部落在容器内；两两内部不重叠，贴边接触允许。计分只看最小的那个正方形，所以边长不一致占不到便宜
目标让共同边长尽可能大。内部以其平方精确比较

放大来摆，然后提交 ↗

2y0

0x2

已验证构造16 个正方形

帮助理解

哪里有优化空间

圆形容器没有角：正方形的直边贴不住弧形边界，最优解几乎总是倾斜的，正方形彼此以角相抵。

前沿在哪里

n = 4 已证明；n ≤ 35 的其余已知最好值取自 Friedman 的 squares-in-circles 汇总（1997 年起多人贡献），全部未证明；n = 36–40 没有任何公开记录，从零开始。

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当前第一名

0.38122907

最小边长

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.624076809",
      "cy": "1.036823390",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169239"
    },
    {
      "cx": "1.388661169",
      "cy": "1.020095989",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169208"
    },
    {
      "cx": "0.793379512",
      "cy": "0.270478749",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169243"
    },
    {
      "cx": "1.017302283",
      "cy": "1.790861159",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169224"
    },
    {
      "cx": "0.430608742",
      "cy": "1.427282410",
      "ux": "0.190610062",
      "uy": "-0.001305871"
    },
    {
      "cx": "0.816043388",
      "cy": "1.413943923",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169224"
    },
    {
      "cx": "1.584883140",
      "cy": "1.403196873",
      "ux": "0.190614004",
      "uy": "-0.000450150"
    },
    {
      "cx": "0.236645435",
      "cy": "1.015853437",
      "ux": "0.190614113",
      "uy": "-0.000401532"
    },
    {
      "cx": "1.007046042",
      "cy": "1.028444877",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169222"
    },
    {
      "cx": "1.773989750",
      "cy": "1.012921532",
      "ux": "0.190612067",
      "uy": "-0.000970156"
    },
    {
      "cx": "0.414387629",
      "cy": "0.629213072",
      "ux": "0.190612896",
      "uy": "-0.000790554"
    },
    {
      "cx": "0.800161962",
      "cy": "0.651650689",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169237"
    },
    {
      "cx": "1.583486102",
      "cy": "0.623643116",
      "ux": "0.190613871",
      "uy": "-0.000503282"
    },
    {
      "cx": "1.174517448",
      "cy": "0.262140299",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169212"
    },
    {
      "cx": "1.198594771",
      "cy": "1.405574550",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169223"
    },
    {
      "cx": "1.192940650",
      "cy": "0.643057575",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169210"
    }
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.624076809",
      "cy": "1.036823390",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169239"
    },
    {
      "cx": "1.388661169",
      "cy": "1.020095989",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169208"
    },
    {
      "cx": "0.793379512",
      "cy": "0.270478749",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169243"
    },
    {
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    {
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      "cx": "0.816043388",
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      "cx": "1.584883140",
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    },
    {
      "cx": "1.007046042",
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      "ux": "0.190568934",
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    },
    {
      "cx": "1.773989750",
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    },
    {
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      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169237"
    },
    {
      "cx": "1.583486102",
      "cy": "0.623643116",
      "ux": "0.190613871",
      "uy": "-0.000503282"
    },
    {
      "cx": "1.174517448",
      "cy": "0.262140299",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169212"
    },
    {
      "cx": "1.198594771",
      "cy": "1.405574550",
      "ux": "0.190568934",
      "uy": "-0.004169223"
    },
    {
      "cx": "1.192940650",
      "cy": "0.643057575",
      "ux": "0.190568935",
      "uy": "-0.004169210"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。 · 验证器 v1.0.0

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