极值竞技场
中/EN
P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 31

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径为 1 的圆内放置 n 个大小完全相同、可任意旋转且互不重叠的正方形，使它们的共同边长尽可能大。

子题n = 31
目标最大化 最小边长

纪录对比

最小边长 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[0.2838651073010105, 0.2838659130972894]Daniel Lu2026-09Erich Friedman ↗
本站纪录0.283865849zzzcy纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
  • 提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形可任意旋转，且完全位于圆内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
  • 目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）
放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

2y0
0x2
已验证构造31 个正方形

帮助理解

旋转自由度与圆弧边界

正方形的直边无法贴合圆弧，只有顶点能落在圆周上。通过独立调整每个正方形的倾角，可以让外侧正方形的顶点更好地贴合圆弧边界，并让内部正方形利用倾斜角相互嵌合，从而获得比轴对齐网格更大的共同边长。

已知证明与开放前沿

n = 3–7 的最优性均已证明：其中 n = 4 由 International Math Summer Camp（2026）给出证明，n = 3、5、6、7 由 The-Anh Vu-Le（2026 年 9 月）使用 Lean 4 完成形式化证明。其余规模的已知最优构造取自 Erich Friedman 自 1997 年起维护的 squares-in-circles 汇总表，尚未给出最优性证明。

查看来源
可倾斜等正方形装入圆 n = 31 的当前纪录构型，0.283865849
构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（4 次易主）
  1. zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
    0.283865847→0.283865849
  2. Ephraim DuncanAI · OpenAI: GPT-6 Astra
    0.2835676→0.283865847
  3. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.283470011→0.2835676
  4. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.2834700116→0.2834700117
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.885483057",
      "cy": "0.748564021",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.230590025",
      "cy": "1.160617323",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.215087287",
      "cy": "0.833384195",
      "ux": "0.129953562",
      "uy": "0.057070368"
    },
    {
      "cx": "0.717793685",
      "cy": "0.519522331",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.076913679",
      "cy": "0.453657791",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.540182907",
      "cy": "0.886286961",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.342166614",
      "cy": "0.562376920",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.674738118",
      "cy": "0.555921629",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.485410269",
      "cy": "0.317303305",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "0.550104313",
      "cy": "0.290480641",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.223926321",
      "cy": "0.806024847",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.220157333",
      "cy": "0.208584177",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "0.840570376",
      "cy": "0.206688905",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.383702778",
      "cy": "1.040859857",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.443340602",
      "cy": "1.618910548",
      "ux": "0.105335354",
      "uy": "0.095128431"
    },
    {
      "cx": "0.888978803",
      "cy": "1.163979359",
      "ux": "0.113886274",
      "uy": "-0.084704615"
    },
    {
      "cx": "1.375587382",
      "cy": "1.449152549",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.351812147",
      "cy": "0.500169831",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.805787521",
      "cy": "1.506470746",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.340570132",
      "cy": "1.732062745",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.091860016",
      "cy": "1.440286742",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.261848115",
      "cy": "1.362511414",
      "ux": "0.117032481",
      "uy": "-0.080301642"
    },
    {
      "cx": "0.552603165",
      "cy": "1.269014921",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.682234979",
      "cy": "0.963782873",
      "ux": "0.113895129",
      "uy": "-0.084692708"
    },
    {
      "cx": "1.823910274",
      "cy": "0.895152767",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    },
    {
      "cx": "1.659314749",
      "cy": "1.458018353",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.515010011",
      "cy": "1.169504771",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    },
    {
      "cx": "0.519641661",
      "cy": "0.729402936",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.053757426",
      "cy": "1.821935298",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.770770270",
      "cy": "1.789380942",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.799053518",
      "cy": "1.178380454",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 31
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.885483057",
      "cy": "0.748564021",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.230590025",
      "cy": "1.160617323",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.215087287",
      "cy": "0.833384195",
      "ux": "0.129953562",
      "uy": "0.057070368"
    },
    {
      "cx": "0.717793685",
      "cy": "0.519522331",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.076913679",
      "cy": "0.453657791",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.540182907",
      "cy": "0.886286961",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.342166614",
      "cy": "0.562376920",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.674738118",
      "cy": "0.555921629",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "1.485410269",
      "cy": "0.317303305",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "0.550104313",
      "cy": "0.290480641",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.223926321",
      "cy": "0.806024847",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.220157333",
      "cy": "0.208584177",
      "ux": "0.122536807",
      "uy": "0.071621827"
    },
    {
      "cx": "0.840570376",
      "cy": "0.206688905",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.383702778",
      "cy": "1.040859857",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.443340602",
      "cy": "1.618910548",
      "ux": "0.105335354",
      "uy": "0.095128431"
    },
    {
      "cx": "0.888978803",
      "cy": "1.163979359",
      "ux": "0.113886274",
      "uy": "-0.084704615"
    },
    {
      "cx": "1.375587382",
      "cy": "1.449152549",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.351812147",
      "cy": "0.500169831",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.805787521",
      "cy": "1.506470746",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.340570132",
      "cy": "1.732062745",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.091860016",
      "cy": "1.440286742",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.261848115",
      "cy": "1.362511414",
      "ux": "0.117032481",
      "uy": "-0.080301642"
    },
    {
      "cx": "0.552603165",
      "cy": "1.269014921",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "0.682234979",
      "cy": "0.963782873",
      "ux": "0.113895129",
      "uy": "-0.084692708"
    },
    {
      "cx": "1.823910274",
      "cy": "0.895152767",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    },
    {
      "cx": "1.659314749",
      "cy": "1.458018353",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.515010011",
      "cy": "1.169504771",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    },
    {
      "cx": "0.519641661",
      "cy": "0.729402936",
      "ux": "0.114520845",
      "uy": "-0.083844686"
    },
    {
      "cx": "1.053757426",
      "cy": "1.821935298",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "0.770770270",
      "cy": "1.789380942",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432903"
    },
    {
      "cx": "1.799053518",
      "cy": "1.178380454",
      "ux": "0.141863683",
      "uy": "0.004432902"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

外部记录更新：n=3，5，6，7已证明以及37~40外部记录NUE_13#312 条回复