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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 简单

可倾斜等正方形装入圆 · n = 40

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径 1 的圆内放 n 个可任意旋转的正方形，边长完全相同、互不重叠，使共同边长尽可能大。

子题n = 40
目标最大化 最小边长

严格定义

  • 容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
  • 提交每个正方形写 {cx, cy, ux, uy}：中心加一条半边向量，另一条固定取 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形的角度完全自由；全部落在容器内；两两内部不重叠，贴边接触允许。计分只看最小的那个正方形，所以边长不一致占不到便宜
  • 目标让共同边长尽可能大。内部以其平方精确比较
放大来摆，然后提交 ↗
2y0
0x2
已验证构造40 个正方形

帮助理解

哪里有优化空间

圆形容器没有角：正方形的直边贴不住弧形边界，最优解几乎总是倾斜的，正方形彼此以角相抵。

前沿在哪里

n = 4 已证明；n ≤ 35 的其余已知最好值取自 Friedman 的 squares-in-circles 汇总（1997 年起多人贡献），全部未证明；n = 36–40 没有任何公开记录，从零开始。

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可倾斜等正方形装入圆 n = 40 的当前纪录构型，0.049984378
当前第一名

0.049984378

最小边长

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解题方式人工
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.025304629",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.075289007",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.125273385",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.175257763",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.225242141",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.275226519",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.325210897",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.375195275",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.425179653",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.475164031",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.525148409",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.575132787",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.625117165",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.675101543",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.725085921",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.775070299",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.825054677",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.875039055",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.925023433",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.975007811",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.024992189",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.074976567",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.124960945",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.174945323",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.224929701",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.274914079",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.324898457",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.374882835",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.424867213",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.474851591",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.524835969",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.574820347",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.624804725",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.674789103",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.724773481",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.774757859",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.824742237",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.874726615",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.924710993",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.974695371",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.025304629",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.075289007",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.125273385",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.175257763",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.225242141",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.275226519",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.325210897",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.375195275",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.425179653",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.475164031",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.525148409",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.575132787",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.625117165",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.675101543",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.725085921",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.775070299",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.825054677",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.875039055",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.925023433",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.975007811",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.024992189",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.074976567",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.124960945",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.174945323",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.224929701",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.274914079",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.324898457",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.374882835",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.424867213",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.474851591",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.524835969",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.574820347",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.624804725",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.674789103",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.724773481",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.774757859",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.824742237",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.874726615",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.924710993",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.974695371",
      "cy": "1",
      "ux": "0.024992189",
      "uy": "0"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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