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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 19

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径为 1 的圆内放置 n 个大小完全相同、可任意旋转且互不重叠的正方形，使它们的共同边长尽可能大。

子题n = 19
目标最大化 最小边长

纪录对比

最小边长 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[0.3569503589135858, 0.3569516330537213]见来源署名Erich Friedman ↗
本站纪录0.356951091zzzcy纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
  • 提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形可任意旋转，且完全位于圆内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
  • 目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）
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当前展示：本站纪录

2y0
0x2
已验证构造19 个正方形

帮助理解

旋转自由度与圆弧边界

正方形的直边无法贴合圆弧，只有顶点能落在圆周上。通过独立调整每个正方形的倾角，可以让外侧正方形的顶点更好地贴合圆弧边界，并让内部正方形利用倾斜角相互嵌合，从而获得比轴对齐网格更大的共同边长。

已知证明与开放前沿

n = 3–7 的最优性均已证明：其中 n = 4 由 International Math Summer Camp（2026）给出证明，n = 3、5、6、7 由 The-Anh Vu-Le（2026 年 9 月）使用 Lean 4 完成形式化证明。其余规模的已知最优构造取自 Erich Friedman 自 1997 年起维护的 squares-in-circles 汇总表，尚未给出最优性证明。

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可倾斜等正方形装入圆 n = 19 的当前纪录构型，0.356951091
构型与历史

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纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
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历史纪录（3 次易主）
  1. zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
    0.35695108→0.356951091
  2. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.356950988→0.35695108
  3. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.3569509886→0.3569509888
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.689990818",
      "cy": "1.693345402",
      "ux": "0.178467143",
      "uy": "-0.001731854"
    },
    {
      "cx": "1.414126329",
      "cy": "1.279093425",
      "ux": "0.029306084",
      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "1.084897680",
      "cy": "0.610171831",
      "ux": "0.029306075",
      "uy": "0.176053045"
    },
    {
      "cx": "1.508266070",
      "cy": "0.450320093",
      "ux": "0.025777165",
      "uy": "0.176604243"
    },
    {
      "cx": "1.360804550",
      "cy": "0.926106688",
      "ux": "0.029306087",
      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "1.755699261",
      "cy": "1.135671467",
      "ux": "0.025777182",
      "uy": "0.176604240"
    },
    {
      "cx": "1.126700611",
      "cy": "0.227347134",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731838"
    },
    {
      "cx": "1.062020242",
      "cy": "1.337705592",
      "ux": "0.029306084",
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    },
    {
      "cx": "1.008697883",
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      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "0.702596513",
      "cy": "0.622319373",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731835"
    },
    {
      "cx": "1.059013507",
      "cy": "1.803304045",
      "ux": "0.013076201",
      "uy": "0.177995881"
    },
    {
      "cx": "1.409766852",
      "cy": "1.641681877",
      "ux": "0.029306084",
      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "1.720918111",
      "cy": "0.780014749",
      "ux": "0.025777168",
      "uy": "0.176604242"
    },
    {
      "cx": "0.770095145",
      "cy": "0.264696470",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731835"
    },
    {
      "cx": "0.322654975",
      "cy": "1.339942125",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731822"
    },
    {
      "cx": "0.345662224",
      "cy": "0.625783047",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731835"
    },
    {
      "cx": "0.679589295",
      "cy": "1.336478440",
      "ux": "0.001731854",
      "uy": "0.178467143"
    },
    {
      "cx": "0.204698587",
      "cy": "0.984118851",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731829"
    },
    {
      "cx": "0.566150597",
      "cy": "0.980611349",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731848"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.689990818",
      "cy": "1.693345402",
      "ux": "0.178467143",
      "uy": "-0.001731854"
    },
    {
      "cx": "1.414126329",
      "cy": "1.279093425",
      "ux": "0.029306084",
      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "1.084897680",
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      "ux": "0.029306075",
      "uy": "0.176053045"
    },
    {
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      "cy": "0.450320093",
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    {
      "cx": "1.360804550",
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    {
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    {
      "cx": "0.702596513",
      "cy": "0.622319373",
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      "cx": "1.409766852",
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      "uy": "0.176053043"
    },
    {
      "cx": "1.720918111",
      "cy": "0.780014749",
      "ux": "0.025777168",
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    },
    {
      "cx": "0.770095145",
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      "ux": "0.178467144",
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    },
    {
      "cx": "0.322654975",
      "cy": "1.339942125",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731822"
    },
    {
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    },
    {
      "cx": "0.679589295",
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      "uy": "0.178467143"
    },
    {
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      "cy": "0.980611349",
      "ux": "0.178467144",
      "uy": "-0.001731848"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

外部记录更新：n=3，5，6，7已证明以及37~40外部记录NUE_13#312 条回复