P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 21

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径 1 的圆内放 n 个可任意旋转的正方形，边长完全相同、互不重叠，使共同边长尽可能大。

子题n = 21

目标最大化最小边长

已知最好（未证明）√34/17文献换算值 0.34299717本站展示证书 0.342997158论文原值（单位正方形边长下的容器半径）：√34 / 2 = 2.915+r = √34 / 2，连续分数为 4/34；Erich Friedman 于 1997 年给出。本站从公开图数字化各正方形的位置与方向，按图中的分离轴解出该固定接触结构并向内修复到九位定点网格，证书分数为 0.117647050456019828；最优性未知提交只收小数，所以纪录追的是这个可写值；如果你认为自己求出了理论最优的闭式，欢迎邮件投稿。 minmaxarena.com@gmail.com

严格定义

容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
提交每个正方形写 {cx, cy, ux, uy}：中心加一条半边向量，另一条固定取 (−uy, ux)
约束每个正方形的角度完全自由；全部落在容器内；两两内部不重叠，贴边接触允许。计分只看最小的那个正方形，所以边长不一致占不到便宜
目标让共同边长尽可能大。内部以其平方精确比较

放大来摆，然后提交 ↗

2y0

0x2

已验证构造21 个正方形

帮助理解

哪里有优化空间

圆形容器没有角：正方形的直边贴不住弧形边界，最优解几乎总是倾斜的，正方形彼此以角相抵。

前沿在哪里

n = 4 已证明；n ≤ 35 的其余已知最好值取自 Friedman 的 squares-in-circles 汇总（1997 年起多人贡献），全部未证明；n = 36–40 没有任何公开记录，从零开始。

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当前第一名

0.342997158

最小边长

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "1.006568186",
      "cy": "1.690731137",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.312285984",
      "cy": "1.006539493",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "0.999935306",
      "cy": "0.993196327",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.692370320",
      "cy": "0.993416239",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.993403607",
      "cy": "0.306302566",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "0.663541185",
      "cy": "1.689224754",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630712"
    },
    {
      "cx": "1.349504507",
      "cy": "1.682701908",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "0.317298090",
      "cy": "1.349504509",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630718"
    },
    {
      "cx": "1.003205695",
      "cy": "1.337121088",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.689224748",
      "cy": "1.336458827",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630709"
    },
    {
      "cx": "0.657018339",
      "cy": "1.003261424",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.349102866",
      "cy": "0.996680377",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.310775250",
      "cy": "0.663541180",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "0.996669870",
      "cy": "0.649791972",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "1.682701911",
      "cy": "0.650495497",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "0.650495486",
      "cy": "0.317298095",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630715"
    },
    {
      "cx": "1.336458814",
      "cy": "0.310775249",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630719"
    },
    {
      "cx": "0.660279758",
      "cy": "1.346243089",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "1.346243085",
      "cy": "1.339720246",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.653756916",
      "cy": "0.660279762",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.339720251",
      "cy": "0.653756916",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630715"
    }
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "1.006568186",
      "cy": "1.690731137",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.312285984",
      "cy": "1.006539493",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "0.999935306",
      "cy": "0.993196327",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.692370320",
      "cy": "0.993416239",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.993403607",
      "cy": "0.306302566",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "0.663541185",
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    },
    {
      "cx": "1.349504507",
      "cy": "1.682701908",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "0.317298090",
      "cy": "1.349504509",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630718"
    },
    {
      "cx": "1.003205695",
      "cy": "1.337121088",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.689224748",
      "cy": "1.336458827",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630709"
    },
    {
      "cx": "0.657018339",
      "cy": "1.003261424",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.349102866",
      "cy": "0.996680377",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.310775250",
      "cy": "0.663541180",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "0.996669870",
      "cy": "0.649791972",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630717"
    },
    {
      "cx": "1.682701911",
      "cy": "0.650495497",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "0.650495486",
      "cy": "0.317298095",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630715"
    },
    {
      "cx": "1.336458814",
      "cy": "0.310775249",
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      "uy": "-0.001630719"
    },
    {
      "cx": "0.660279758",
      "cy": "1.346243089",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630714"
    },
    {
      "cx": "1.346243085",
      "cy": "1.339720246",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630710"
    },
    {
      "cx": "0.653756916",
      "cy": "0.660279762",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630711"
    },
    {
      "cx": "1.339720251",
      "cy": "0.653756916",
      "ux": "0.171490826",
      "uy": "-0.001630715"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。 · 验证器 v1.0.0

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讨论区

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