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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

可倾斜等正方形装入圆 · n = 27

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径为 1 的圆内放置 n 个大小完全相同、可任意旋转且互不重叠的正方形，使它们的共同边长尽可能大。

子题n = 27
目标最大化 最小边长

纪录对比

最小边长 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[0.3067004855068685, 0.3067014261616317]见来源署名Erich Friedman ↗
本站纪录0.306677905zzzcy纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

  • 容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
  • 提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形可任意旋转，且完全位于圆内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
  • 目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）
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当前展示：本站纪录

2y0
0x2
已验证构造27 个正方形

帮助理解

旋转自由度与圆弧边界

正方形的直边无法贴合圆弧，只有顶点能落在圆周上。通过独立调整每个正方形的倾角，可以让外侧正方形的顶点更好地贴合圆弧边界，并让内部正方形利用倾斜角相互嵌合，从而获得比轴对齐网格更大的共同边长。

已知证明与开放前沿

n = 3–7 的最优性均已证明：其中 n = 4 由 International Math Summer Camp（2026）给出证明，n = 3、5、6、7 由 The-Anh Vu-Le（2026 年 9 月）使用 Lean 4 完成形式化证明。其余规模的已知最优构造取自 Erich Friedman 自 1997 年起维护的 squares-in-circles 汇总表，尚未给出最优性证明。

查看来源
可倾斜等正方形装入圆 n = 27 的当前纪录构型，0.306677905
构型与历史

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纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
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历史纪录（2 次易主）
  1. zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
    0.306677895→0.306677905
  2. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.306672835→0.306677895
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.265040437",
      "cy": "1.307716326",
      "ux": "0.153327207",
      "uy": "-0.001897900"
    },
    {
      "cx": "1.799169929",
      "cy": "1.152587432",
      "ux": "0.153337506",
      "uy": "0.000666094"
    },
    {
      "cx": "1.797779812",
      "cy": "0.845900591",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666092"
    },
    {
      "cx": "0.825429454",
      "cy": "1.779470113",
      "ux": "0.153029665",
      "uy": "0.009734279"
    },
    {
      "cx": "1.187475072",
      "cy": "1.495986621",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897897"
    },
    {
      "cx": "1.124243961",
      "cy": "0.192162106",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000665983"
    },
    {
      "cx": "1.142424317",
      "cy": "1.803246577",
      "ux": "0.153327196",
      "uy": "-0.001898810"
    },
    {
      "cx": "1.471365672",
      "cy": "0.320646118",
      "ux": "0.131311614",
      "uy": "0.079183932"
    },
    {
      "cx": "0.510033048",
      "cy": "0.387833515",
      "ux": "0.153337519",
      "uy": "0.000663237"
    },
    {
      "cx": "0.571713030",
      "cy": "0.694783927",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666086"
    },
    {
      "cx": "1.491800803",
      "cy": "0.684344392",
      "ux": "0.153337506",
      "uy": "0.000666094"
    },
    {
      "cx": "0.817476969",
      "cy": "0.211854069",
      "ux": "0.153337510",
      "uy": "0.000665211"
    },
    {
      "cx": "1.185601775",
      "cy": "0.573436447",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666085"
    },
    {
      "cx": "0.517543546",
      "cy": "1.618264876",
      "ux": "0.153331599",
      "uy": "-0.001501819"
    },
    {
      "cx": "0.877826109",
      "cy": "0.825478343",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666087"
    },
    {
      "cx": "0.879158294",
      "cy": "0.518803325",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666085"
    },
    {
      "cx": "1.495780469",
      "cy": "1.607638862",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897831"
    },
    {
      "cx": "1.491762752",
      "cy": "1.300987126",
      "ux": "0.153327207",
      "uy": "-0.001897899"
    },
    {
      "cx": "1.184269591",
      "cy": "0.880111463",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666087"
    },
    {
      "cx": "0.265038007",
      "cy": "0.693452933",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666089"
    },
    {
      "cx": "0.880321021",
      "cy": "1.459418107",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897898"
    },
    {
      "cx": "1.183679275",
      "cy": "1.189332204",
      "ux": "0.153327207",
      "uy": "-0.001897899"
    },
    {
      "cx": "1.490468620",
      "cy": "0.991019409",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666092"
    },
    {
      "cx": "0.165680621",
      "cy": "0.999702137",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666086"
    },
    {
      "cx": "0.571778097",
      "cy": "1.310645444",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897897"
    },
    {
      "cx": "0.567982296",
      "cy": "1.003991025",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897898"
    },
    {
      "cx": "0.876301574",
      "cy": "1.134695357",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897898"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 27
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.265040437",
      "cy": "1.307716326",
      "ux": "0.153327207",
      "uy": "-0.001897900"
    },
    {
      "cx": "1.799169929",
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    },
    {
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    },
    {
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      "cy": "1.779470113",
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    },
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      "cy": "1.495986621",
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      "uy": "-0.001897897"
    },
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    },
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    },
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    {
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    },
    {
      "cx": "0.571713030",
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      "uy": "0.000665211"
    },
    {
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    {
      "cx": "0.517543546",
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    },
    {
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      "cy": "0.825478343",
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    },
    {
      "cx": "1.495780469",
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    {
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      "cx": "1.184269591",
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    {
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      "cy": "0.693452933",
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    },
    {
      "cx": "0.880321021",
      "cy": "1.459418107",
      "ux": "0.153327208",
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    },
    {
      "cx": "1.183679275",
      "cy": "1.189332204",
      "ux": "0.153327207",
      "uy": "-0.001897899"
    },
    {
      "cx": "1.490468620",
      "cy": "0.991019409",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666092"
    },
    {
      "cx": "0.165680621",
      "cy": "0.999702137",
      "ux": "0.153337507",
      "uy": "0.000666086"
    },
    {
      "cx": "0.571778097",
      "cy": "1.310645444",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897897"
    },
    {
      "cx": "0.567982296",
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      "uy": "-0.001897898"
    },
    {
      "cx": "0.876301574",
      "cy": "1.134695357",
      "ux": "0.153327208",
      "uy": "-0.001897898"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx, cy, ux, uy}，其中 (cx, cy) 为中心坐标，(ux, uy) 为一条半边向量，另一条正交半边向量固定取 (−uy, ux)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.4"）。由于倾斜正方形的最优边长通常是无理数，无法直接写成精确的有限小数，因此通过提交有理半边向量来唯一确定正方形及其边长。系统以所有正方形中的最小边长作为公开指标，故应使各正方形尺寸尽量一致。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

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