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P05 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 简单

可倾斜等正方形装入圆 · n = 39

文献中也称squares in circlespacking unit squares in a circle

在半径 1 的圆内放 n 个可任意旋转的正方形，边长完全相同、互不重叠，使共同边长尽可能大。

子题n = 39
目标最大化 最小边长

严格定义

  • 容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
  • 提交每个正方形写 {cx, cy, ux, uy}：中心加一条半边向量，另一条固定取 (−uy, ux)
  • 约束每个正方形的角度完全自由；全部落在容器内；两两内部不重叠，贴边接触允许。计分只看最小的那个正方形，所以边长不一致占不到便宜
  • 目标让共同边长尽可能大。内部以其平方精确比较
放大来摆，然后提交 ↗
2y0
0x2
已验证构造39 个正方形

帮助理解

哪里有优化空间

圆形容器没有角：正方形的直边贴不住弧形边界，最优解几乎总是倾斜的，正方形彼此以角相抵。

前沿在哪里

n = 4 已证明；n ≤ 35 的其余已知最好值取自 Friedman 的 squares-in-circles 汇总（1997 年起多人贡献），全部未证明；n = 36–40 没有任何公开记录，从零开始。

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可倾斜等正方形装入圆 n = 39 的当前纪录构型，0.051265196
当前第一名

0.051265196

最小边长

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解题方式人工
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标和向量用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.4"，最多九位小数。

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.025961276",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.077226472",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.128491668",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.179756864",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.23102206",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.282287256",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.333552452",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.384817648",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.436082844",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.48734804",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.538613236",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.589878432",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.641143628",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.692408824",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.74367402",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.794939216",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.846204412",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.897469608",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.948734804",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.051265196",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.102530392",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.153795588",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.205060784",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.25632598",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.307591176",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.358856372",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.410121568",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.461386764",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.51265196",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.563917156",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.615182352",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.666447548",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.717712744",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.76897794",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.820243136",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.871508332",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.922773528",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.974038724",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    }
  ]
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 39
}

当前第一名的答案

{
  "squares": [
    {
      "cx": "0.025961276",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.077226472",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.128491668",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.179756864",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.23102206",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.282287256",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.333552452",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.384817648",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.436082844",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.48734804",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.538613236",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.589878432",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.641143628",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.692408824",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.74367402",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.794939216",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.846204412",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.897469608",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "0.948734804",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.051265196",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.102530392",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.153795588",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.205060784",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.25632598",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.307591176",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.358856372",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.410121568",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.461386764",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.51265196",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.563917156",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.615182352",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.666447548",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.717712744",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.76897794",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.820243136",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.871508332",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.922773528",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    },
    {
      "cx": "1.974038724",
      "cy": "1",
      "ux": "0.025632598",
      "uy": "0"
    }
  ]
}

每个正方形提交 {cx,cy,ux,uy}：中心加一条半边向量，另一条半边向量固定取 (-uy,ux)。每个数写成十进制字符串，例如 "0.4"；角度完全自由，计分取最小正方形的边长，所以把它们写得一样大最划算。边长本身几乎总是无理数，写不成有限小数，所以你写的是那条半边向量，边长由它精确定出。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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