极值竞技场
中/EN
P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

单位圆内的等圆装箱

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

2y0
0x2
已验证构造r = 0.333333333
n = 6当前纪录 · 打开子题

在半径 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使共同半径尽可能大。

严格定义

  • 容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心 centers
  • 约束每个圆完整落在容器内；两两内部不重叠，相切允许
  • 目标让共同半径尽可能大

帮助理解

哪里有优化空间

最优构形是「卡死」的接触结构：圆彼此顶住、顶住边界，常出现斜排、错位、以及不碰任何邻居的游离圆。规整的网格摆法几乎从不最优。

前沿在哪里

n = 1..14 与 19 已证明；其余规模的最优性仍未知。本站接入 Packomania 中 n = 1..300 的公开构型，大规模部分集中成一张表供算法批量挑战。

查看来源
逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

小规模实例保留独立页面，便于观察和手工调整；更大的 n 集中在下方同一张表中，直接比较与提交。

讨论区（0）↓
n1
当前纪录1
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n2
当前纪录1/2
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n3
当前纪录0.464101615已证明最优 2√3 − 3
答案来源参考答案
解题方式—
n4
当前纪录√2 − 1
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录0.370191908已证明最优 sin 36° / (1 + sin 36°)
答案来源参考答案
解题方式—
n6
当前纪录1/3
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n7
当前纪录1/3
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n8
当前纪录1/(1 + 1/sin(π/7))
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n9
当前纪录1/(1 + √(2(2 + √2)))
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n10
当前纪录0.262258924已证明最优 0.262258923
答案来源参考答案
解题方式—
n11
当前纪录1/(1 + 1/sin(π/9))
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n12
当前纪录0.248163470
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n13
当前纪录√5 − 2
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n14
当前纪录0.231030727
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n15
当前纪录0.221172539已知最好 [0.2211725390863909372643164849255, 0.2211725390863909372643164849265]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n16
当前纪录0.216664742已知最好 [0.2166647429244224210106479369325, 0.2166647429244224210106479369335]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n17
当前纪录0.208679665已知最好 [0.2086796655704997432000801252635, 0.2086796655704997432000801252645]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n18
当前纪录0.205604646已知最好 [0.2056046467595682246931939690925, 0.2056046467595682246931939690935]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n19
当前纪录1/(1 + √2 + √6)
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n20
当前纪录0.195224010已知最好 [0.1952240110187488782913056948325, 0.1952240110187488782913056948335]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n21
当前纪录0.190392146已知最好 [0.1903921468490535119688089730565, 0.1903921468490535119688089730575]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n22
当前纪录0.183833026已知最好 [0.1838330265816816772644114805125, 0.1838330265816816772644114805135]
难
纪录保持者Ἀθηνᾶ
解题方式AI · Anthropic: Claude Opus 5
n23
当前纪录0.180336009已知最好 [0.1803360092544365003492521932515, 0.1803360092544365003492521932525]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n24
当前纪录0.176939130已知最好 [0.1769391305959616826957326824525, 0.1769391305959616826957326824535]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n25
当前纪录0.173827661已知最好 [0.1738276614212222333592595944125, 0.1738276614212222333592595944135]
难
纪录保持者Ἀθηνᾶ
解题方式AI · Anthropic: Claude Opus 5
n26
当前纪录0.171580252已知最好 [0.1715802521871668482839362261715, 0.1715802521871668482839362261725]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n27
当前纪录0.169307930已知最好 [0.1693079311345730465689703176575, 0.1693079311345730465689703176585]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n28
当前纪录0.166252749已知最好 [0.1662527500386069358149423890575, 0.1662527500386069358149423890585]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n29
当前纪录0.162903649已知最好 [0.1629036492766443539450697723185, 0.1629036492766443539450697723195]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n30
当前纪录0.161349108已知最好 [0.1613491090646898651673588465355, 0.1613491090646898651673588465365]
难
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
计算前沿

N = 31–300 总表

每一行仍有独立纪录，但不再生成一张重复的题目页面。外部值按其来源的原始精度保留；本站构型经过九位网格验证。

N当前纪录外部纪录纪录来源状态

引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/circle-circle-packing.json

引用请指向 2026-09 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/circle-circle-packing.json
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-circle-circle-packing-2026-09,
  title  = {{Equal-circle packing in a unit circle} (P02)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-09 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/circle-circle-packing.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？