P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 难

单位圆内的等圆装箱 · n = 23

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

在半径为 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 23

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.1803360092544365003492521932515, 0.1803360092544365003492521932525]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	0.180336009	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个小圆完全位于容器圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

2y0

1234567891011121314151617181920212223

0x2

已验证构造r = 0.180336009

帮助理解

环状分层与接触结构

在圆形容器内，较大半径的等圆通常会贴着外圆周排成外环，其余圆在内部组成内环或中心核，通过彼此相切形成刚性接触网。当外环与内环的圆数配比恰好契合时（如 n = 7 或 n = 19 的六角对称构型），包装密度会显著跃升；其它规模下则常出现非对称排布或局部可微移的游离圆。

已知证明与开放前沿

n = 1..14 与 n = 19 的最优性已获得数学证明，其余规模仍未完全解决。本站导入了 Packomania 汇总的 n = 1..300 公开已知最优构型，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.180336008→0.180336009
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.839651320",
      "0.196173303"
    ],
    [
      "1.200211266",
      "0.205163849"
    ],
    [
      "0.510138298",
      "0.342820748"
    ],
    [
      "1.522006041",
      "0.368051625"
    ],
    [
      "0.824903057",
      "0.556543659"
    ],
    [
      "1.220043701",
      "0.565290187"
    ],
    [
      "0.275472947",
      "0.616712109"
    ],
    [
      "1.742729316",
      "0.653298081"
    ],
    [
      "0.575416933",
      "0.817006667"
    ],
    [
      "1.440766976",
      "0.850536643"
    ],
    [
      "1.015796511",
      "0.862556721"
    ],
    [
      "0.181091485",
      "0.964816182"
    ],
    [
      "1.819644356",
      "1.005673423"
    ],
    [
      "0.576786281",
      "1.177676086"
    ],
    [
      "1.408583443",
      "1.209769889"
    ],
    [
      "1.048111383",
      "1.221778176"
    ],
    [
      "0.245268175",
      "1.319732591"
    ],
    [
      "1.737858769",
      "1.356950269"
    ],
    [
      "0.787095147",
      "1.470685447"
    ],
    [
      "1.160327899",
      "1.564548884"
    ],
    [
      "0.455577041",
      "1.612741952"
    ],
    [
      "1.513207990",
      "1.639113931"
    ],
    [
      "0.899311663",
      "1.813456155"
    ]
  ],
  "radius": "0.180336009"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 23
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.839651320",
      "0.196173303"
    ],
    [
      "1.200211266",
      "0.205163849"
    ],
    [
      "0.510138298",
      "0.342820748"
    ],
    [
      "1.522006041",
      "0.368051625"
    ],
    [
      "0.824903057",
      "0.556543659"
    ],
    [
      "1.220043701",
      "0.565290187"
    ],
    [
      "0.275472947",
      "0.616712109"
    ],
    [
      "1.742729316",
      "0.653298081"
    ],
    [
      "0.575416933",
      "0.817006667"
    ],
    [
      "1.440766976",
      "0.850536643"
    ],
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      "1.015796511",
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    ],
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      "0.181091485",
      "0.964816182"
    ],
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      "1.005673423"
    ],
    [
      "0.576786281",
      "1.177676086"
    ],
    [
      "1.408583443",
      "1.209769889"
    ],
    [
      "1.048111383",
      "1.221778176"
    ],
    [
      "0.245268175",
      "1.319732591"
    ],
    [
      "1.737858769",
      "1.356950269"
    ],
    [
      "0.787095147",
      "1.470685447"
    ],
    [
      "1.160327899",
      "1.564548884"
    ],
    [
      "0.455577041",
      "1.612741952"
    ],
    [
      "1.513207990",
      "1.639113931"
    ],
    [
      "0.899311663",
      "1.813456155"
    ]
  ],
  "radius": "0.180336009"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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