P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 难

单位圆内的等圆装箱 · n = 29

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

在半径为 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 29

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.1629036492766443539450697723185, 0.1629036492766443539450697723195]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	0.162903649	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个小圆完全位于容器圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

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当前展示：本站纪录

2y0

1234567891011121314151617181920212223242526272829

0x2

已验证构造r = 0.162903649

帮助理解

环状分层与接触结构

在圆形容器内，较大半径的等圆通常会贴着外圆周排成外环，其余圆在内部组成内环或中心核，通过彼此相切形成刚性接触网。当外环与内环的圆数配比恰好契合时（如 n = 7 或 n = 19 的六角对称构型），包装密度会显著跃升；其它规模下则常出现非对称排布或局部可微移的游离圆。

已知证明与开放前沿

n = 1..14 与 n = 19 的最优性已获得数学证明，其余规模仍未完全解决。本站导入了 Packomania 汇总的 n = 1..300 公开已知最优构型，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.162903648→0.162903649
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.054795020",
      "0.164698973"
    ],
    [
      "0.727950535",
      "0.208446975"
    ],
    [
      "1.369537672",
      "0.248886021"
    ],
    [
      "0.390213195",
      "0.426510373"
    ],
    [
      "1.641914343",
      "0.462713971"
    ],
    [
      "1.020558332",
      "0.488702437"
    ],
    [
      "0.697876122",
      "0.533720069"
    ],
    [
      "1.335300984",
      "0.572889485"
    ],
    [
      "0.217458884",
      "0.702746402"
    ],
    [
      "1.798413776",
      "0.748473178"
    ],
    [
      "0.525121811",
      "0.809956098"
    ],
    [
      "0.850726390",
      "0.821447703"
    ],
    [
      "1.174659791",
      "0.856341073"
    ],
    [
      "1.503002509",
      "0.886421893"
    ],
    [
      "0.163248111",
      "1.024012005"
    ],
    [
      "1.833965194",
      "1.072335020"
    ],
    [
      "0.470911038",
      "1.131221701"
    ],
    [
      "0.796515612",
      "1.142713305"
    ],
    [
      "1.120449013",
      "1.177606675"
    ],
    [
      "1.455030305",
      "1.209664414"
    ],
    [
      "1.743183077",
      "1.385239163"
    ],
    [
      "0.623761302",
      "1.418949337"
    ],
    [
      "0.291779744",
      "1.422703041"
    ],
    [
      "1.260740662",
      "1.471662195"
    ],
    [
      "0.937021901",
      "1.508493699"
    ],
    [
      "1.539819591",
      "1.639785206"
    ],
    [
      "0.617701967",
      "1.744700285"
    ],
    [
      "1.254681327",
      "1.797413144"
    ],
    [
      "0.930962566",
      "1.834244648"
    ]
  ],
  "radius": "0.162903649"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.054795020",
      "0.164698973"
    ],
    [
      "0.727950535",
      "0.208446975"
    ],
    [
      "1.369537672",
      "0.248886021"
    ],
    [
      "0.390213195",
      "0.426510373"
    ],
    [
      "1.641914343",
      "0.462713971"
    ],
    [
      "1.020558332",
      "0.488702437"
    ],
    [
      "0.697876122",
      "0.533720069"
    ],
    [
      "1.335300984",
      "0.572889485"
    ],
    [
      "0.217458884",
      "0.702746402"
    ],
    [
      "1.798413776",
      "0.748473178"
    ],
    [
      "0.525121811",
      "0.809956098"
    ],
    [
      "0.850726390",
      "0.821447703"
    ],
    [
      "1.174659791",
      "0.856341073"
    ],
    [
      "1.503002509",
      "0.886421893"
    ],
    [
      "0.163248111",
      "1.024012005"
    ],
    [
      "1.833965194",
      "1.072335020"
    ],
    [
      "0.470911038",
      "1.131221701"
    ],
    [
      "0.796515612",
      "1.142713305"
    ],
    [
      "1.120449013",
      "1.177606675"
    ],
    [
      "1.455030305",
      "1.209664414"
    ],
    [
      "1.743183077",
      "1.385239163"
    ],
    [
      "0.623761302",
      "1.418949337"
    ],
    [
      "0.291779744",
      "1.422703041"
    ],
    [
      "1.260740662",
      "1.471662195"
    ],
    [
      "0.937021901",
      "1.508493699"
    ],
    [
      "1.539819591",
      "1.639785206"
    ],
    [
      "0.617701967",
      "1.744700285"
    ],
    [
      "1.254681327",
      "1.797413144"
    ],
    [
      "0.930962566",
      "1.834244648"
    ]
  ],
  "radius": "0.162903649"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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