P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

单位圆内的等圆装箱 · n = 16

在半径 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使共同半径尽可能大。

子题n = 16

目标最大化共同半径

已知最好（未证明）0.216664742值取自 Eckard Specht 的汇总表，该表未把这一项标为已证明最优

严格定义

容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心 centers
约束每个圆完整落在容器内；两两内部不重叠，相切允许
目标让共同半径尽可能大

放大来摆，然后提交 ↗

2y0

12345678910111213141516

0x2

已验证构造r = 0.216664742

帮助理解

哪里有优化空间

最优构形是「卡死」的接触结构：圆彼此顶住、顶住边界，常出现斜排、错位、以及不碰任何邻居的游离圆。规整的网格摆法几乎从不最优。

前沿在哪里

n = 2..14 与 19 已证明（Specht 汇总表 cci 的粗体标记）；15..18 与 20 以上全部开放，包括本站开到的 29。

查看来源

当前第一名

0.216664742

共同半径

已追平已知最好

纪录保持者创始基准

解题方式人工

挑战这个纪录 ↗

历史纪录（2 次易主）

匿名人工
0.212933164→0.216664742
2026-08-26
RJcxyAI · Google: Gemini 3.1 Pro Preview
0.078036128→0.212933164
2026-08-24

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 radius 与 centers。每个数写成十进制字符串，例如 "0.2"。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1",
      "0.216664743"
    ],
    [
      "0.583575881",
      "0.336520476"
    ],
    [
      "1.416424119",
      "0.336520476"
    ],
    [
      "0.294583326",
      "0.659410157"
    ],
    [
      "1.705416674",
      "0.659410157"
    ],
    [
      "0.783335257",
      "0.721059987"
    ],
    [
      "1.216664743",
      "0.721059987"
    ],
    [
      "0.221458069",
      "1.08652506"
    ],
    [
      "1.778541931",
      "1.08652506"
    ],
    [
      "0.652172218",
      "1.134062045"
    ],
    [
      "1.347827782",
      "1.134062045"
    ],
    [
      "1",
      "1.392500195"
    ],
    [
      "0.386577454",
      "1.487162093"
    ],
    [
      "1.613422546",
      "1.487162093"
    ],
    [
      "0.739412656",
      "1.73872076"
    ],
    [
      "1.260587344",
      "1.73872076"
    ]
  ],
  "radius": "0.216664742"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1",
      "0.216664743"
    ],
    [
      "0.583575881",
      "0.336520476"
    ],
    [
      "1.416424119",
      "0.336520476"
    ],
    [
      "0.294583326",
      "0.659410157"
    ],
    [
      "1.705416674",
      "0.659410157"
    ],
    [
      "0.783335257",
      "0.721059987"
    ],
    [
      "1.216664743",
      "0.721059987"
    ],
    [
      "0.221458069",
      "1.08652506"
    ],
    [
      "1.778541931",
      "1.08652506"
    ],
    [
      "0.652172218",
      "1.134062045"
    ],
    [
      "1.347827782",
      "1.134062045"
    ],
    [
      "1",
      "1.392500195"
    ],
    [
      "0.386577454",
      "1.487162093"
    ],
    [
      "1.613422546",
      "1.487162093"
    ],
    [
      "0.739412656",
      "1.73872076"
    ],
    [
      "1.260587344",
      "1.73872076"
    ]
  ],
  "radius": "0.216664742"
}

提交 radius 与 centers。每个数写成十进制字符串，例如 "0.2"。 · 验证器 v1.0.0