P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 难

单位圆内的等圆装箱 · n = 15

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

在半径为 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 15

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.2211725390863909372643164849255, 0.2211725390863909372643164849265]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	0.221172539	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个小圆完全位于容器圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

2y0

123456789101112131415

0x2

已验证构造r = 0.221172539

帮助理解

环状分层与接触结构

在圆形容器内，较大半径的等圆通常会贴着外圆周排成外环，其余圆在内部组成内环或中心核，通过彼此相切形成刚性接触网。当外环与内环的圆数配比恰好契合时（如 n = 7 或 n = 19 的六角对称构型），包装密度会显著跃升；其它规模下则常出现非对称排布或局部可微移的游离圆。

已知证明与开放前沿

n = 1..14 与 n = 19 的最优性已获得数学证明，其余规模仍未完全解决。本站导入了 Packomania 汇总的 n = 1..300 公开已知最优构型，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（3 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.221172538→0.221172539
2026-09-03
Packomania · Eckard Specht人工
0.221171718→0.221172538
2026-08-26
RJcxyAI · Google: Gemini 3.1 Pro Preview
0.083164676→0.221171718
2026-08-24

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.235190597",
      "1.147101291"
    ],
    [
      "0.278439022",
      "0.706875506"
    ],
    [
      "0.498247436",
      "1.595664820"
    ],
    [
      "0.623759255",
      "0.318079832"
    ],
    [
      "0.675416382",
      "1.190349717"
    ],
    [
      "0.718664807",
      "0.750123932"
    ],
    [
      "0.903562539",
      "1.772833766"
    ],
    [
      "1.055803355",
      "0.223174280"
    ],
    [
      "1.080731485",
      "1.367518663"
    ],
    [
      "1.150708907",
      "0.655218380"
    ],
    [
      "1.374478420",
      "1.036789308"
    ],
    [
      "1.411460840",
      "1.661265598"
    ],
    [
      "1.532279835",
      "0.431448867"
    ],
    [
      "1.705207775",
      "1.330536243"
    ],
    [
      "1.756049348",
      "0.813019795"
    ]
  ],
  "radius": "0.221172539"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.235190597",
      "1.147101291"
    ],
    [
      "0.278439022",
      "0.706875506"
    ],
    [
      "0.498247436",
      "1.595664820"
    ],
    [
      "0.623759255",
      "0.318079832"
    ],
    [
      "0.675416382",
      "1.190349717"
    ],
    [
      "0.718664807",
      "0.750123932"
    ],
    [
      "0.903562539",
      "1.772833766"
    ],
    [
      "1.055803355",
      "0.223174280"
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    [
      "1.080731485",
      "1.367518663"
    ],
    [
      "1.150708907",
      "0.655218380"
    ],
    [
      "1.374478420",
      "1.036789308"
    ],
    [
      "1.411460840",
      "1.661265598"
    ],
    [
      "1.532279835",
      "0.431448867"
    ],
    [
      "1.705207775",
      "1.330536243"
    ],
    [
      "1.756049348",
      "0.813019795"
    ]
  ],
  "radius": "0.221172539"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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