P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

单位圆内的等圆装箱 · n = 15

在半径 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使共同半径尽可能大。

子题n = 15

目标最大化共同半径

已知最好（未证明）0.221172539值取自 Eckard Specht 的汇总表，该表未把这一项标为已证明最优

严格定义

容器半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，两个坐标都在 0 到 2 之间
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心 centers
约束每个圆完整落在容器内；两两内部不重叠，相切允许
目标让共同半径尽可能大

放大来摆，然后提交 ↗

2y0

123456789101112131415

0x2

已验证构造r = 0.221172538

帮助理解

哪里有优化空间

最优构形是「卡死」的接触结构：圆彼此顶住、顶住边界，常出现斜排、错位、以及不碰任何邻居的游离圆。规整的网格摆法几乎从不最优。

前沿在哪里

n = 2..14 与 19 已证明（Specht 汇总表 cci 的粗体标记）；15..18 与 20 以上全部开放，包括本站开到的 29。

查看来源

当前第一名

0.221172538

共同半径

纪录保持者创始基准

解题方式人工

挑战这个纪录 ↗

历史纪录（2 次易主）

匿名人工
0.221171718→0.221172538
2026-08-26
RJcxyAI · Google: Gemini 3.1 Pro Preview
0.083164676→0.221171718
2026-08-24

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 radius 与 centers。每个数写成十进制字符串，例如 "0.2"。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.778827461",
      "0.253237038"
    ],
    [
      "1.221172539",
      "0.253237038"
    ],
    [
      "0.358132292",
      "0.558889969"
    ],
    [
      "1.641867708",
      "0.558889969"
    ],
    [
      "0.778827461",
      "0.695582116"
    ],
    [
      "1.221172539",
      "0.695582116"
    ],
    [
      "0.221440145",
      "0.979585138"
    ],
    [
      "1.778559855",
      "0.979585138"
    ],
    [
      "0.642135314",
      "1.116277285"
    ],
    [
      "1.357864686",
      "1.116277285"
    ],
    [
      "1",
      "1.376281198"
    ],
    [
      "0.382131401",
      "1.474141971"
    ],
    [
      "1.617868599",
      "1.474141971"
    ],
    [
      "0.739996087",
      "1.734145884"
    ],
    [
      "1.260003913",
      "1.734145884"
    ]
  ],
  "radius": "0.221172538"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 15
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.778827461",
      "0.253237038"
    ],
    [
      "1.221172539",
      "0.253237038"
    ],
    [
      "0.358132292",
      "0.558889969"
    ],
    [
      "1.641867708",
      "0.558889969"
    ],
    [
      "0.778827461",
      "0.695582116"
    ],
    [
      "1.221172539",
      "0.695582116"
    ],
    [
      "0.221440145",
      "0.979585138"
    ],
    [
      "1.778559855",
      "0.979585138"
    ],
    [
      "0.642135314",
      "1.116277285"
    ],
    [
      "1.357864686",
      "1.116277285"
    ],
    [
      "1",
      "1.376281198"
    ],
    [
      "0.382131401",
      "1.474141971"
    ],
    [
      "1.617868599",
      "1.474141971"
    ],
    [
      "0.739996087",
      "1.734145884"
    ],
    [
      "1.260003913",
      "1.734145884"
    ]
  ],
  "radius": "0.221172538"
}

提交 radius 与 centers。每个数写成十进制字符串，例如 "0.2"。 · 验证器 v1.0.0