极值竞技场
中/EN
P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

单位圆内的等圆装箱 · n = 5

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

在半径为 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 5
目标最大化 共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
已证明最优sin 36° / (1 + sin 36°)见来源署名packomania.com ↗
本站纪录0.370191908参考答案纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

  • 容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
  • 约束每个小圆完全位于容器圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
  • 目标最大化共同半径 radius
打开编辑器查看 ↗

当前展示：本站纪录

2y0
0x2
已验证构造r = 0.370191908

帮助理解

环状分层与接触结构

在圆形容器内，较大半径的等圆通常会贴着外圆周排成外环，其余圆在内部组成内环或中心核，通过彼此相切形成刚性接触网。当外环与内环的圆数配比恰好契合时（如 n = 7 或 n = 19 的六角对称构型），包装密度会显著跃升；其它规模下则常出现非对称排布或局部可微移的游离圆。

已知证明与开放前沿

n = 1..14 与 n = 19 的最优性已获得数学证明，其余规模仍未完全解决。本站导入了 Packomania 汇总的 n = 1..300 公开已知最优构型，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源
单位圆内的等圆装箱 n = 5 的当前纪录构型，0.370191908
构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

答案来源参考答案
解题方式—
最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（1 次易主）
  1. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    0.370191907→0.370191908
ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.407156557",
      "1.212590886"
    ],
    [
      "0.614615354",
      "0.501866577"
    ],
    [
      "1.018987249",
      "1.629521816"
    ],
    [
      "1.354662633",
      "0.479545728"
    ],
    [
      "1.604578208",
      "1.176474993"
    ]
  ],
  "radius": "0.370191908"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "0.407156557",
      "1.212590886"
    ],
    [
      "0.614615354",
      "0.501866577"
    ],
    [
      "1.018987249",
      "1.629521816"
    ],
    [
      "1.354662633",
      "0.479545728"
    ],
    [
      "1.604578208",
      "1.176474993"
    ]
  ],
  "radius": "0.370191908"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。