P02 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破 · 难

单位圆内的等圆装箱 · n = 21

文献中也称circles in a circlepacking equal circles in a circlecci

在半径为 1 的圆内放置 n 个半径相同、互不重叠的小圆，使它们的共同半径尽可能大。

子题n = 21

目标最大化共同半径

纪录对比

共同半径 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.1903921468490535119688089730565, 0.1903921468490535119688089730575]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个小圆完全位于容器圆内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

放大编辑并提交 ↗

当前展示：起步布局

2y0

123456789101112131415161718192021

0x2

已验证构造r = 0.190392146

帮助理解

环状分层与接触结构

在圆形容器内，较大半径的等圆通常会贴着外圆周排成外环，其余圆在内部组成内环或中心核，通过彼此相切形成刚性接触网。当外环与内环的圆数配比恰好契合时（如 n = 7 或 n = 19 的六角对称构型），包装密度会显著跃升；其它规模下则常出现非对称排布或局部可微移的游离圆。

已知证明与开放前沿

n = 1..14 与 n = 19 的最优性已获得数学证明，其余规模仍未完全解决。本站导入了 Packomania 汇总的 n = 1..300 公开已知最优构型，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

起步布局

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挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

历史纪录（2 次易主）

Packomania · Eckard Specht人工
0.185813856→0.190392146
2026-08-26
NUE_13人工
0.059616906→0.185813856
2026-08-25

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以两个坐标都在 0 到 2 之间。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "0.809607853",
      "0.213097397"
    ],
    [
      "1.190392147",
      "0.213097397"
    ],
    [
      "0.470940582",
      "0.387169674"
    ],
    [
      "1.529059418",
      "0.387169674"
    ],
    [
      "1",
      "0.542866269"
    ],
    [
      "0.249307588",
      "0.696807357"
    ],
    [
      "1.750692412",
      "0.696807357"
    ],
    [
      "0.661332729",
      "0.716938546"
    ],
    [
      "1.338667271",
      "0.716938546"
    ],
    [
      "1",
      "1"
    ],
    [
      "0.193736744",
      "1.073514882"
    ],
    [
      "1.806263256",
      "1.073514882"
    ],
    [
      "0.574259198",
      "1.087633675"
    ],
    [
      "1.425740802",
      "1.087633675"
    ],
    [
      "0.809607853",
      "1.386979109"
    ],
    [
      "1.190392147",
      "1.386979109"
    ],
    [
      "0.316520985",
      "1.433960035"
    ],
    [
      "1.683479015",
      "1.433960035"
    ],
    [
      "0.590498968",
      "1.698408033"
    ],
    [
      "1.409501032",
      "1.698408033"
    ],
    [
      "1",
      "1.777223539"
    ]
  ],
  "radius": "0.190392146"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "0.809607853",
      "0.213097397"
    ],
    [
      "1.190392147",
      "0.213097397"
    ],
    [
      "0.470940582",
      "0.387169674"
    ],
    [
      "1.529059418",
      "0.387169674"
    ],
    [
      "1",
      "0.542866269"
    ],
    [
      "0.249307588",
      "0.696807357"
    ],
    [
      "1.750692412",
      "0.696807357"
    ],
    [
      "0.661332729",
      "0.716938546"
    ],
    [
      "1.338667271",
      "0.716938546"
    ],
    [
      "1",
      "1"
    ],
    [
      "0.193736744",
      "1.073514882"
    ],
    [
      "1.806263256",
      "1.073514882"
    ],
    [
      "0.574259198",
      "1.087633675"
    ],
    [
      "1.425740802",
      "1.087633675"
    ],
    [
      "0.809607853",
      "1.386979109"
    ],
    [
      "1.190392147",
      "1.386979109"
    ],
    [
      "0.316520985",
      "1.433960035"
    ],
    [
      "1.683479015",
      "1.433960035"
    ],
    [
      "0.590498968",
      "1.698408033"
    ],
    [
      "1.409501032",
      "1.698408033"
    ],
    [
      "1",
      "1.777223539"
    ]
  ],
  "radius": "0.190392146"
}

提交共同半径 radius 与各圆圆心坐标 centers，所有数值均以十进制字符串表示（如 "0.2"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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