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P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 16

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 16
目标最小化 容器正方形边长
已知最好（未证明）2.9000来源精度区间：2.9–2.9001（区间内视为追平）本站展示证书 2.900039516Erich Friedman 编录；Found by Ian Watson in April 2026. 原式：s = 2.9000+。

严格定义

  • 容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
  • 提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
  • 约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
  • 精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
  • 目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。
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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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等边三角形装入正方形 n = 16 的当前纪录构型，2.900039516
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2.900039516

容器正方形边长

已追平已知最好
答案来源Ian Watson
解题方式公开参考构造
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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.371495034",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716317924",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.827588555"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.543906479",
      "y": "0.800916411"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.692747095"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.199083589",
      "y": "0.655177110"
    },
    {
      "turn": "0.145970203",
      "x": "0.443297505",
      "y": "0.581958161"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.800916411",
      "y": "0.520335650"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.482765664"
    },
    {
      "turn": "-0.397850817",
      "x": "0.573157138",
      "y": "0.429525618"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.347924204"
    },
    {
      "turn": "0.479236593",
      "x": "0.249434079",
      "y": "0.310354219"
    },
    {
      "turn": "-0.076850197",
      "x": "0.124717039",
      "y": "0.155177110"
    },
    {
      "turn": "0.241068678",
      "x": "0.604304102",
      "y": "0.198829903"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.421845524",
      "y": "0.099541794"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.786762681",
      "y": "0.099541794"
    }
  ],
  "radius": "0.199083587"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.371495034",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716317924",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.827588555"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.543906479",
      "y": "0.800916411"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.692747095"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.199083589",
      "y": "0.655177110"
    },
    {
      "turn": "0.145970203",
      "x": "0.443297505",
      "y": "0.581958161"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.800916411",
      "y": "0.520335650"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.482765664"
    },
    {
      "turn": "-0.397850817",
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      "y": "0.429525618"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.347924204"
    },
    {
      "turn": "0.479236593",
      "x": "0.249434079",
      "y": "0.310354219"
    },
    {
      "turn": "-0.076850197",
      "x": "0.124717039",
      "y": "0.155177110"
    },
    {
      "turn": "0.241068678",
      "x": "0.604304102",
      "y": "0.198829903"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.421845524",
      "y": "0.099541794"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.786762681",
      "y": "0.099541794"
    }
  ],
  "radius": "0.199083587"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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