P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 16

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 16

目标最小化容器正方形边长

纪录对比

容器正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[2.9, 2.9001)	Ian Watson	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为单位正方形 [0,1]²；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.371495034",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716317924",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.827588555"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.543906479",
      "y": "0.800916411"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.692747095"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.199083589",
      "y": "0.655177110"
    },
    {
      "turn": "0.145970203",
      "x": "0.443297505",
      "y": "0.581958161"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.800916411",
      "y": "0.520335650"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.482765664"
    },
    {
      "turn": "-0.397850817",
      "x": "0.573157138",
      "y": "0.429525618"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.347924204"
    },
    {
      "turn": "0.479236593",
      "x": "0.249434079",
      "y": "0.310354219"
    },
    {
      "turn": "-0.076850197",
      "x": "0.124717039",
      "y": "0.155177110"
    },
    {
      "turn": "0.241068678",
      "x": "0.604304102",
      "y": "0.198829903"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.421845524",
      "y": "0.099541794"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.786762681",
      "y": "0.099541794"
    }
  ],
  "radius": "0.199083587"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.371495034",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716317924",
      "y": "0.900458206"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.827588555"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.543906479",
      "y": "0.800916411"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.692747095"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.199083589",
      "y": "0.655177110"
    },
    {
      "turn": "0.145970203",
      "x": "0.443297505",
      "y": "0.581958161"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.800916411",
      "y": "0.520335650"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.099541794",
      "y": "0.482765664"
    },
    {
      "turn": "-0.397850817",
      "x": "0.573157138",
      "y": "0.429525618"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.900458206",
      "y": "0.347924204"
    },
    {
      "turn": "0.479236593",
      "x": "0.249434079",
      "y": "0.310354219"
    },
    {
      "turn": "-0.076850197",
      "x": "0.124717039",
      "y": "0.155177110"
    },
    {
      "turn": "0.241068678",
      "x": "0.604304102",
      "y": "0.198829903"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.421845524",
      "y": "0.099541794"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.786762681",
      "y": "0.099541794"
    }
  ],
  "radius": "0.199083587"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

证书归一化半径居然是中心到顶点的距离NUE_13#312 条回复31 天前