P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 31

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 31

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）3.93107来源精度区间：3.93107–3.93108（区间内视为追平）本站展示证书 3.931078147Erich Friedman 编录；31. Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 3.93107+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

3.931078147

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源31. Found by Jake Loyd

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.140296767",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.394679909",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.649063051",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.267488338",
      "y": "0.853131825"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.926565912",
      "y": "0.872808429"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.521871480",
      "y": "0.853131825"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.853131825",
      "y": "0.745616858"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.073434088",
      "y": "0.733506542"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.706263649",
      "y": "0.727928137"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.335695605",
      "y": "0.706263649"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.926565912",
      "y": "0.618425287"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.158020878",
      "y": "0.612753987"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
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    },
    {
      "turn": "-0.552464823",
      "x": "0.482459254",
      "y": "0.564935541"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.304889053",
      "y": "0.492387264"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
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      "y": "0.491233716"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.084586790",
      "y": "0.485562416"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.706263649",
      "y": "0.473544995"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.926565912",
      "y": "0.364042145"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.158020878",
      "y": "0.358370845"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.489258467",
      "y": "0.367170439"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.362066896",
      "y": "0.293736351"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.616450038",
      "y": "0.293736351"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.073434088",
      "y": "0.237618290"
    },
    {
      "turn": "0.054686686",
      "x": "0.826267880",
      "y": "0.236850574"
    },
    {
      "turn": "-0.506666415",
      "x": "0.913133940",
      "y": "0.118425287"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.317501596",
      "y": "0.146868175"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.571884738",
      "y": "0.146868175"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.190310025",
      "y": "0.073434088"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.444693167",
      "y": "0.073434088"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.699076309",
      "y": "0.073434088"
    }
  ],
  "radius": "0.146868174"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 31,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.140296767",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.394679909",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.649063051",
      "y": "0.926565912"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.267488338",
      "y": "0.853131825"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
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    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.521871480",
      "y": "0.853131825"
    },
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    {
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      "x": "0.926565912",
      "y": "0.618425287"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.158020878",
      "y": "0.612753987"
    },
    {
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      "x": "0.084586790",
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      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.706263649",
      "y": "0.473544995"
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      "x": "0.926565912",
      "y": "0.364042145"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.158020878",
      "y": "0.358370845"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.489258467",
      "y": "0.367170439"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.362066896",
      "y": "0.293736351"
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    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.616450038",
      "y": "0.293736351"
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    {
      "turn": "-0.000000000",
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      "y": "0.237618290"
    },
    {
      "turn": "0.054686686",
      "x": "0.826267880",
      "y": "0.236850574"
    },
    {
      "turn": "-0.506666415",
      "x": "0.913133940",
      "y": "0.118425287"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.317501596",
      "y": "0.146868175"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.571884738",
      "y": "0.146868175"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.190310025",
      "y": "0.073434088"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.444693167",
      "y": "0.073434088"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.699076309",
      "y": "0.073434088"
    }
  ],
  "radius": "0.146868174"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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