P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 35

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 35

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）4.14123来源精度区间：4.14123–4.14124（区间内视为追平）本站展示证书 4.141233485Erich Friedman 编录；35. Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 4.14123+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

放大来摆，然后提交 ↗

已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

查看来源

当前第一名

4.141233485

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源35. Found by Jake Loyd

解题方式公开参考构造

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享证明或思路，审核采纳后可获得证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者还没有分享求解过程。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.154841169",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.396315121",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.637789073",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.879263024",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.758526048",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.275578145",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.517052097",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.069707525",
      "y": "0.759538039"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.739847973"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.458128363",
      "y": "0.721169898"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.699602315",
      "y": "0.721169898"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.578865339",
      "y": "0.651462373"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.144634433",
      "y": "0.641814474"
    },
    {
      "turn": "-0.004563660",
      "x": "0.285148563",
      "y": "0.641173216"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.860584949",
      "y": "0.619110997"
    },
    {
      "turn": "0.008523613",
      "x": "0.072063567",
      "y": "0.519089240"
    },
    {
      "turn": "-0.011106254",
      "x": "0.459367497",
      "y": "0.499445024"
    },
    {
      "turn": "0.562636279",
      "x": "0.319918220",
      "y": "0.499452760"
    },
    {
      "turn": "0.477929053",
      "x": "0.699172003",
      "y": "0.506745197"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.498374022"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.860584949",
      "y": "0.377637046"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.139415051",
      "y": "0.364450894"
    },
    {
      "turn": "-0.002992458",
      "x": "0.280824786",
      "y": "0.356904426"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.576987821",
      "y": "0.348537627"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.697724796",
      "y": "0.278830102"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.456250845",
      "y": "0.278830102"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.256900070"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.069707525",
      "y": "0.243713918"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.269945591",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.511419542",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.752893494",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.149208615",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.390682566",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.632156518",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.873630470",
      "y": "0.069707525"
    }
  ],
  "radius": "0.139415049"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 35,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.154841169",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.396315121",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.637789073",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.879263024",
      "y": "0.930292475"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.758526048",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.275578145",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.517052097",
      "y": "0.860584949"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.069707525",
      "y": "0.759538039"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.739847973"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.458128363",
      "y": "0.721169898"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.699602315",
      "y": "0.721169898"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.578865339",
      "y": "0.651462373"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.144634433",
      "y": "0.641814474"
    },
    {
      "turn": "-0.004563660",
      "x": "0.285148563",
      "y": "0.641173216"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.860584949",
      "y": "0.619110997"
    },
    {
      "turn": "0.008523613",
      "x": "0.072063567",
      "y": "0.519089240"
    },
    {
      "turn": "-0.011106254",
      "x": "0.459367497",
      "y": "0.499445024"
    },
    {
      "turn": "0.562636279",
      "x": "0.319918220",
      "y": "0.499452760"
    },
    {
      "turn": "0.477929053",
      "x": "0.699172003",
      "y": "0.506745197"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.498374022"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.860584949",
      "y": "0.377637046"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.139415051",
      "y": "0.364450894"
    },
    {
      "turn": "-0.002992458",
      "x": "0.280824786",
      "y": "0.356904426"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.576987821",
      "y": "0.348537627"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.697724796",
      "y": "0.278830102"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.456250845",
      "y": "0.278830102"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.930292475",
      "y": "0.256900070"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.069707525",
      "y": "0.243713918"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.269945591",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.511419542",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.752893494",
      "y": "0.139415051"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.149208615",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.390682566",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.632156518",
      "y": "0.069707525"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.873630470",
      "y": "0.069707525"
    }
  ],
  "radius": "0.139415049"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

还没有帖子。第一个聊聊这道题的思路？