P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 39

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 39

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）4.36792来源精度区间：4.36792–4.36793（区间内视为追平）本站展示证书 4.36792619Erich Friedman 编录；39. Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 4.36792+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

4.36792619

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源39. Found by Jake Loyd

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.225668194",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.454609794",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.683551393",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.365743786",
      "x": "0.899011097",
      "y": "0.914720108"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.340138994",
      "y": "0.867820506"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.569080594",
      "y": "0.867820506"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.066089747",
      "y": "0.849187138"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.774662092",
      "y": "0.827359623"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.710808231"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.235150703",
      "y": "0.735641012"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.464092302",
      "y": "0.735641012"
    },
    {
      "turn": "-0.270248073",
      "x": "0.118969885",
      "y": "0.671552534"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.349621503",
      "y": "0.669551265"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.578563102",
      "y": "0.669551265"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716394003",
      "y": "0.695180129"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.867820506",
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    },
    {
      "turn": "0.265652951",
      "x": "0.114186402",
      "y": "0.539392333"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.344284451",
      "y": "0.537371771"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.573226051",
      "y": "0.537371771"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.458755251",
      "y": "0.471282024"
    },
    {
      "turn": "-0.270248073",
      "x": "0.228372804",
      "y": "0.472812424"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.687259959",
      "y": "0.470525306"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.481866632"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.867820506",
      "y": "0.367395832"
    },
    {
      "turn": "0.265652951",
      "x": "0.139437037",
      "y": "0.341013012"
    },
    {
      "turn": "0.259438008",
      "x": "0.369138514",
      "y": "0.338698557"
    },
    {
      "turn": "0.259438008",
      "x": "0.599388853",
      "y": "0.337289103"
    },
    {
      "turn": "-0.276496752",
      "x": "0.483880736",
      "y": "0.273029523"
    },
    {
      "turn": "-0.276496752",
      "x": "0.254378462",
      "y": "0.273094313"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.716099939",
      "y": "0.272306521"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.252925032"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.066089747",
      "y": "0.174540764"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.323934077",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.549365862",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.774797646",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.661967038",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.211103469",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.436535254",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.887398823",
      "y": "0.069227116"
    }
  ],
  "radius": "0.132179493"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 39,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.225668194",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.454609794",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.683551393",
      "y": "0.933910253"
    },
    {
      "turn": "0.365743786",
      "x": "0.899011097",
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    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
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    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
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      "y": "0.867820506"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
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    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.774662092",
      "y": "0.827359623"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.710808231"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.235150703",
      "y": "0.735641012"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.464092302",
      "y": "0.735641012"
    },
    {
      "turn": "-0.270248073",
      "x": "0.118969885",
      "y": "0.671552534"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.349621503",
      "y": "0.669551265"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.578563102",
      "y": "0.669551265"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.716394003",
      "y": "0.695180129"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.867820506",
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    },
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      "turn": "0.265652951",
      "x": "0.114186402",
      "y": "0.539392333"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.344284451",
      "y": "0.537371771"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.573226051",
      "y": "0.537371771"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.458755251",
      "y": "0.471282024"
    },
    {
      "turn": "-0.270248073",
      "x": "0.228372804",
      "y": "0.472812424"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.687259959",
      "y": "0.470525306"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.481866632"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.867820506",
      "y": "0.367395832"
    },
    {
      "turn": "0.265652951",
      "x": "0.139437037",
      "y": "0.341013012"
    },
    {
      "turn": "0.259438008",
      "x": "0.369138514",
      "y": "0.338698557"
    },
    {
      "turn": "0.259438008",
      "x": "0.599388853",
      "y": "0.337289103"
    },
    {
      "turn": "-0.276496752",
      "x": "0.483880736",
      "y": "0.273029523"
    },
    {
      "turn": "-0.276496752",
      "x": "0.254378462",
      "y": "0.273094313"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.716099939",
      "y": "0.272306521"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.933910253",
      "y": "0.252925032"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.066089747",
      "y": "0.174540764"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.323934077",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.549365862",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "0.253195195",
      "x": "0.774797646",
      "y": "0.138454233"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.661967038",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.211103469",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.436535254",
      "y": "0.069227116"
    },
    {
      "turn": "-0.282812839",
      "x": "0.887398823",
      "y": "0.069227116"
    }
  ],
  "radius": "0.132179493"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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