P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 28

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 28

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）3.75707来源精度区间：3.75707–3.75708（区间内视为追平）本站展示证书 3.757072811Erich Friedman 编录；28. Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 3.75707+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

3.757072811

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源28. Found by Jake Loyd

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.286752568",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.552917229",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.819081889",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.076835119",
      "y": "0.866917670"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.419834899",
      "y": "0.846329762"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.685999559",
      "y": "0.846329762"
    },
    {
      "turn": "-0.531309333",
      "x": "0.913989222",
      "y": "0.740877702"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.153670238",
      "y": "0.733835340"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.370968818",
      "y": "0.692659523"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.637133478",
      "y": "0.692659523"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.504051148",
      "y": "0.615824404"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.827597393",
      "y": "0.602717802"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.076835119",
      "y": "0.600753010"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.282907436",
      "y": "0.537845834"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.923164881",
      "y": "0.480450610"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.504051148",
      "y": "0.462154166"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.636412312",
      "y": "0.384069952"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.133082330",
      "y": "0.333841625"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.846329762",
      "y": "0.347368280"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.281465105",
      "y": "0.384175596"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.414547435",
      "y": "0.307340477"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.923164881",
      "y": "0.214285950"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.636412312",
      "y": "0.230399714"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.133082330",
      "y": "0.180171386"
    },
    {
      "turn": "-0.168440884",
      "x": "0.766302720",
      "y": "0.100568753"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.383946545",
      "y": "0.153670238"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.250864215",
      "y": "0.076835119"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.517028876",
      "y": "0.076835119"
    }
  ],
  "radius": "0.153670237"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 28,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.286752568",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.552917229",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.819081889",
      "y": "0.923164881"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.076835119",
      "y": "0.866917670"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.419834899",
      "y": "0.846329762"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.685999559",
      "y": "0.846329762"
    },
    {
      "turn": "-0.531309333",
      "x": "0.913989222",
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    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.153670238",
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    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.370968818",
      "y": "0.692659523"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.637133478",
      "y": "0.692659523"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.504051148",
      "y": "0.615824404"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.827597393",
      "y": "0.602717802"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.076835119",
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      "turn": "-0.267949192",
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      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.923164881",
      "y": "0.480450610"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.504051148",
      "y": "0.462154166"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.636412312",
      "y": "0.384069952"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.133082330",
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    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.846329762",
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      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.281465105",
      "y": "0.384175596"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.414547435",
      "y": "0.307340477"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.923164881",
      "y": "0.214285950"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.636412312",
      "y": "0.230399714"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.133082330",
      "y": "0.180171386"
    },
    {
      "turn": "-0.168440884",
      "x": "0.766302720",
      "y": "0.100568753"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.383946545",
      "y": "0.153670238"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.250864215",
      "y": "0.076835119"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.517028876",
      "y": "0.076835119"
    }
  ],
  "radius": "0.153670237"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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